Метод розв’язання крайових задач в багатошарових областях

Анотація

Запропонований метод розв’язання крайових задач для рівняння теплопровідності у складній області – багатошаровому циліндрі, де в одній частині шарів діють внутрішні джерела тепла, а у іншій – зовнішні. Розглянуто метод розв’язку задачі в умовах невизначеності однієї з граничних умов на межі шарів з кондуктивним теплообміном між шарами. Сутність методу полягає в усереднені температурних розподілів за радіусом у внутрішніх шарах. Процес усереднення температурного розподілу уздовж радіуса, якщо це дозволяє фізична модель задачі, знижує її розмірність, але у результаті перетворень з’являється на межі шарів гранична умова імпедансного типу. Шляхом послідовного усереднення за радіусом, використовуючи умову спряження на межі  шарів визначається температурний розподіл в останньому шарі. Для визначення температурного розподілу в останьому шарі побудована кінцево-різницева схема Кранка-Ніколсон. Наступний крок визначення температурних розподілів у багатошаровому циліндрі полягає у зворотному розв’язанні задач від останнього шару до першого. Розв’язуючи задачу від останнього шару до першого на кожному шарі отримується матриця значень температур, що використовуємо для розв’язання задачі як граничну умову для наступного шару. Це дає можливість знайти температурний розподіл в усьому циліндрі. У якості прикладу побудована математична модель теплового процесу у електричній машині, яка представлена у вигляді  тришарового циліндра, де в одному з шарів  діють внутрішні джерела тепла, а до двох інших тепло передається теплопровідністю. Отримано аналітичний та чисельно - аналітичний розв’язок спрощених задач. Проведено чисельні розрахунки, знайдено розв’язок  нелінійної задачі та побудовані графіки температурних  розподілів.