Метод обчислення сингулярних інтегралів в задачах аксіально-симетричних течій Стокса

Анотація

Досліджено  течії в’язкої рідини з невеликими числами Рейнольдса (течії Стокса) у тривимірному формулюванні. В цьому випадку можливо нехтувати інерційними членами в рівняннях руху. Такі течії можуть відбуватися в нанотрубках, що є включеннями в репрезентативних об’ємах наноматеріалів. З використання фундаментального розв’язку Озена побудовано інтегральне зображення швидкості. Це зображення використовується для побудови інтегрального рівняння відносно невідомої густини. Розв’язок цього рівняння дає змогу обчислити тиск рідини на стінки оболонки. Досліджено випадок аксіально-симетричних течій. Для цього отримано інтегральне подання невідомої швидкості в циліндричних координатах. Шляхом інтегрування за окружною координатою здійснено зведення двовимірного сингулярного інтегрального рівняння до одновимірного. При цьому виявлено, що компоненти ядер сингулярного оператора виражаються через еліптичні інтеграли першого та другого роду. Доведено, що особливості ядер одновимірних сингулярних інтегральних рівнянь мають логарифмічний характер. Для обчислення еліптичних інтегралів запропоновано використовувати алгоритм Гауса, заснований на використанні середнього арифметико-геометричного значення. Ця процедура дає змогу отримати логарифмічні сингулярні компоненти із високою точністю. Це дає змогу використовувати спеціальні квадратурні формули для обчислення інтегралів з такою особливістю. Побудовано алгоритм, заснований на використанні методу граничних елементів для числового розв’язання  отриманих сингулярних інтегральних рівнянь. Проведено тестування запропонованого метода розв’язання одновимірних сингулярних рівнянь, які в ядрах містять еліптичні інтеграли з логарифмічними особливостями, тобто логарифмічна особливість не виражена в явному вигляді. Зроблено порівняння з відомими аналітичними розв’язками. Отримані дані свідчать про високу ефективність запропонованого числового методу.