Двобічний ітераційний метод на основі використання функції Гріна в задачах чисельного аналізу деяких електромеханічних систем

Анотація

Актуальність. У роботі розглядається задача чисельного аналізу нелінійної крайової задачі, що моделює електростатичну мікроелектромеханічну систему під дією зовнішнього тиску. Мікроелектромеханічні системи поєднують механічні та електричні компоненти мікронних розмірів та використовуються у автомобілебудуванні, авіації, медицині. Електростатична активація цих систем є ключовою для функціонування мікродзеркал, мікрорезонаторів, акселерометрів тощо. Основним обмеженням електростатичних мікроелектромеханічних систем є явище нестабільності відхиляння, що призводить до дестабілізації системи. Для нівелювання цих обмежень запропоновано дослідити параметри моделі та отримати їх оцінки.

Мета. За допомогою методів теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих просторах розробити метод двобічних наближень розв’язання поставленої задачі.

Методи дослідження. Математична модель електростатичної мікроелектромеханічної системи представлена нелінійним еліптичним рівнянням з оператором Лапласа та однорідною крайовою умовою першого роду. За допомогою методу функцій Гріна від цієї диференціальної задачі здійснюється перехід до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке аналізується методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих просторах.

Результати. Досліджено властивості нелінійного оператора, яке входить до рівняння Гаммерштейна, отримано умови існування єдиного додатного розв'язку розглядуваної задачі та умови збіжності до нього двобічних наближень. Для запропонованого методу двобічних наближень також отримано апостеріорну оцінку похибки та оцінку кількості ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності.

Висновки. Робота та ефективність розробленого методу продемонстрована обчислювальними експериментами для тестової задачі у круговій області з різними значеннями параметрів моделі. Результати обчислювальних експериментів представлені у вигляді числової та графічної інформації.