Метод сингулярних інтегральних рівнянь в задачах коливань рідини в коаксіальних оболонках

Анотація

Розглянуто задачу про вільні коливання ідеальної нестисливої рідини в коаксіальних оболонках обертання. Вважається, що рух рідини є безвихровим, що дозволяє ввести потенціал швидкостей. В зазначених умовах потенціал швидкостей задовольняє рівнянню Лапласа. Граничні умови сформульовано на змочених поверхнях оболонкової системи та на вільній поверхні рідини. Умова непротікання має виконуватись на змочених поверхнях. На вільній поверхні застосовуємо динамічну та кінематичну граничні умови. Динамічна гранична умова полягає в рівності тиску рідини на вільній поверхні атмосферному тиску. Кінематична гранична умова потребує виконання рівності нулю повної похідної за часом від функції, що описує рівень підйому вільної поверхні в кожний момент часу. Відносно потенціалу швидкостей сформульовано крайову задачу, яку далі зведено до проблеми власних значень. Для розв’язання крайової задачі для рівняння Лапласа застосований метод граничних елементів в прямому формулюванні. Осесиметрична форма оболонок обертання дозволяє звести отриману при цьому систему сингулярних інтегральних рівнянь до одновимірних рівнянь. Ядра сингулярних операторів в цих рівняннях зображені у термінах еліптичних інтегралів першого та другого роду та мають логарифмічні особливості. Розроблено спеціальну процедуру для ефективного обчислення таких інтегралів. Отримане сингулярне рівняння розв’язано методом дискретних особливостей. Область інтегрування містить вільну поверхню рідини, яка в разі коаксіальних оболонок має вигляд кільця. Таким чином, встановлено можливість використання методу граничних інтегральних рівнянь сумісно з методом дискретних особливостей для розв’язання сингулярних інтегральних рівнянь з незв’язною межею. Проведено числове дослідження, яке дало можливість визначити частоти і форми плескань рідини в оболонкових системах при різних відношеннях радіусів внутрішньої і зовнішньої циліндричних коаксіальних оболонок. Отримані форми власних коливань рідини можна застосовувати як базисні функції при вивченні вимушених коливань рідини в резервуарах.