Стаціонарна задача теплопровідності для багатошарових пластин складної форми

Анотація

Запропоновано метод розрахунку стаціонарних температурних полів у багатошаровій пластині складної форми при впливі плівкових джерел тепла. На зовнішніх поверхнях пластини відбувається конвективний теплообмін. Рівняння теплопровідності і граничні умови отримані з варіаційного рівняння теплового балансу. Розв’язок задачі стаціонарної теплопровідності отримано в тривимірній постановці на основі методу занурення. Похідні шуканої функції температури вздовж поперечної координати, що входять у рівняння теплопровідності, а також умови конвективного теплообміну на верхній і нижній поверхнях пластини та умови рівності потоків тепла й температур на межах контакту шарів, замінюються їх скінченно-різницевим поданням. Для цього використовуються симетричні різниці. Вихідна багатошарова пластина довільної форми в плані занурюється в допоміжну багатошарову пластину, що охоплює, з тією же композицією шарів. Форма пластини, що охоплює, вибирається таким чином, щоб можливо було отримати простий аналітичний розв'язок. У даній роботі роль пластини, що охоплює, виконує прямокутна пластина з нульовими умовами на контурі. Щоб забезпечити виконання реальних граничних умов, до допоміжної пластини в кожній вузловій точці по товщині вздовж вихідного контуру додаються додаткові компенсуючі джерела. Їх інтенсивності визначаються з умови задоволення вихідним граничним умовам. Функції температури в шарах і на бічній поверхні, а також щільності внутрішніх теплових джерел розвиваються в тригонометричні ряди по функціях, що задовольняють граничні умовам допоміжної пластини, а також у ряд уздовж вихідного контуру. У результаті перетворень система інтегральних рівнянь зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь щодо коефіцієнтів розвинення в ряд функцій компенсуючих джерел. Проведено порівнювальний аналіз розподілу температури вздовж товщини квадратної пластини з результатами, одержаними методом скінченних елементів. Як приклад розв’язана задача стаціонарної теплопровідності для п’ятишарового елемента оскління транспортного засобу при нагріванні плівковим джерелом тепла.