Investigation of nonlinear Hamiltonian systems by the normal form of the Birkhoff-Gustavson
Keywords:
Hamilton’s system; Birkhoff-Gustavson normalization; quantization; computer modeling
Abstract
Results the paper are obtained with both classical and quantum approaches to autonomic 2D Hamiltonian system. Even if such system has negative Gaussian domains, the classical approach shows no dynamical chaos. For certain values of classical Hamilton function parameters, the motion integral is found. Direct numerical calculations for Poincare sections confirm the results. The classical normal Birkhof-Gustavson form and its quantum analogue according to Weyl rule are derived. On the base of this quantum analogue, the approximate formulas are obtained for evaluation of energy spectrum of the lowest states for the local minimum situated at the origin.
Downloads
Download data is not yet available.
References
Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. – М.: УРСС, 2001. – 320 с.
Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах / А. Пуанкаре, М.: Наука. Т. 2. 1972 г. – 358 с.
Dirac P A M. Generalized hamiltonian dynamics \ P A M. Dirac \\ London, Proceed. Roy. Soc, 1958, vol. A 246, p. 326—332.
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман – М.:Мир, 1984. – 528с.
Toda M. Instability of trajectories of lattice with cubic nonlinearity / M. Toda // Phys. Lett. – 1974 – v.48 – p.335-336.
Кривошей И.В., Литинский Г.Б., Лузанов А.В. // Хим.физика. 1985. – т4. №6. – С.309-317
Belajva I.N. Symbolic-numeric Solution of the the Two-dimensional Shroedinger Equation with Double-well Potential / Belajva I.N., Gusev A.A., Lukianenko A.N., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I. // Computer Algebra and Differential Equations Acta Academiae Aboensis. – 2007. – V. B67.– No. 2. – P. 78-86.
Штокман Х.-Ю. Квантовый хаос / Х.-Ю. Штокман – М.: Физматлит, 2004. – 376с.
Богачев В.Е. Символьно-численные расчеты нормальной формы, интеграла движения и сечений Пуанкаре для консервативных двумерных гамильтоновых систем / Богачев В.Е., Чеканов Н.А. // Вычислительные технологии, 2012 – т. 17. – № 4 – с. 3-13.
Чеканов Н.А. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона. Ядерная физика. – 1989. – Т. 50. – Вып. 8. – С. 344-346.
Basios, V. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians. / V. Basios, N. A. Chekanov, B. L. Markovski, V. A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky // Comp. Phys. Commun. – 1995. – v. 90. – p. 355 – 368.
Ezra G.S. Perturb: a program for calculating vibrational energies by generalized algebraic quantization / G.S. Ezra, L.E. Fried // Comp. Phys. Commun. – 1988. – v51. – p. 103-114.
Абрамовиц М. Справочник Ио специальным функциям / М. Абамовиц, И. Стиган. М.: «Наука», 1979. – 832с.
Виницкий, С.И. Решение двумерного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе / Виницкий, С.И., Инопин Е.В., Чеканов Н.А. // Препринт ОИЯИ, Р4-93-150, Дубна, 1993. – 11с.
Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. – Л., Физматгиз, 1962 г. – 708 с.
Лукьяненко А.Н. Классическая и квантовая двумерные модельные системы с пятиямным полиномиальным потенциалом / А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: теоретическая и прикладная физика (РФЯЦ–ВНИИЭФ, г. Саров). – 2009. – Вып. 2. – С. 14-20.
Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах / А. Пуанкаре, М.: Наука. Т. 2. 1972 г. – 358 с.
Dirac P A M. Generalized hamiltonian dynamics \ P A M. Dirac \\ London, Proceed. Roy. Soc, 1958, vol. A 246, p. 326—332.
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман – М.:Мир, 1984. – 528с.
Toda M. Instability of trajectories of lattice with cubic nonlinearity / M. Toda // Phys. Lett. – 1974 – v.48 – p.335-336.
Кривошей И.В., Литинский Г.Б., Лузанов А.В. // Хим.физика. 1985. – т4. №6. – С.309-317
Belajva I.N. Symbolic-numeric Solution of the the Two-dimensional Shroedinger Equation with Double-well Potential / Belajva I.N., Gusev A.A., Lukianenko A.N., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I. // Computer Algebra and Differential Equations Acta Academiae Aboensis. – 2007. – V. B67.– No. 2. – P. 78-86.
Штокман Х.-Ю. Квантовый хаос / Х.-Ю. Штокман – М.: Физматлит, 2004. – 376с.
Богачев В.Е. Символьно-численные расчеты нормальной формы, интеграла движения и сечений Пуанкаре для консервативных двумерных гамильтоновых систем / Богачев В.Е., Чеканов Н.А. // Вычислительные технологии, 2012 – т. 17. – № 4 – с. 3-13.
Чеканов Н.А. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона. Ядерная физика. – 1989. – Т. 50. – Вып. 8. – С. 344-346.
Basios, V. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians. / V. Basios, N. A. Chekanov, B. L. Markovski, V. A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky // Comp. Phys. Commun. – 1995. – v. 90. – p. 355 – 368.
Ezra G.S. Perturb: a program for calculating vibrational energies by generalized algebraic quantization / G.S. Ezra, L.E. Fried // Comp. Phys. Commun. – 1988. – v51. – p. 103-114.
Абрамовиц М. Справочник Ио специальным функциям / М. Абамовиц, И. Стиган. М.: «Наука», 1979. – 832с.
Виницкий, С.И. Решение двумерного уравнения Шредингера в самосогласованном базисе / Виницкий, С.И., Инопин Е.В., Чеканов Н.А. // Препринт ОИЯИ, Р4-93-150, Дубна, 1993. – 11с.
Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. – Л., Физматгиз, 1962 г. – 708 с.
Лукьяненко А.Н. Классическая и квантовая двумерные модельные системы с пятиямным полиномиальным потенциалом / А.Н. Лукьяненко, Н.А. Чеканов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: теоретическая и прикладная физика (РФЯЦ–ВНИИЭФ, г. Саров). – 2009. – Вып. 2. – С. 14-20.
Published
2015-05-29
How to Cite
Богачев, В. Е., Кириченко, И. К., Чеканова, Н. Н., & Чеканов, Н. А. (2015). Investigation of nonlinear Hamiltonian systems by the normal form of the Birkhoff-Gustavson. Bulletin of V.N. Karazin Kharkiv National University, Series «Mathematical Modeling. Information Technology. Automated Control Systems», 26(1156), 17-28. Retrieved from https://periodicals.karazin.ua/mia/article/view/14210
Issue
Section
Статті
