Особливості побудови сімейства атомарних радіальних базисних функцій Plop r,a (x1,x2)

Анотація

У багатьох методах вирішення крайових проблем за допомогою довільної сітки, таких як SDI (scattered data interpolation) та SPH (smoothed particle hydrodynamics), задля поліпшення точності розрахунків використовуються сімейства атомарних радіальних базисних функцій, що залежать від параметрів. Функції такого роду мають загальну назву «функції форми». При використанні у якості таких функцій поліномів або поліноміальних сплайнів вони мають назву «базисні функції». Термін «радіальна» означає, що носієм функції є диск або шар. Термін «атомарна» означає, що носій функції обмежений, тобто функція є фінітною. У більшості випадків у англомовних публікаціях застосовують термін «фінітна». У статті наводиться алгоритм побудови такої функції, що є рішенням функціонально-диференційного рівняння

де  – коло радіуса r:  , а  . Породжена цим рівнянням функція   має два параметри: r та  . Варіювання цими параметрами дозволяє зменшити похибку у розрахунках крайової задачі Пуассона у кілька разів. У статті доказується теорема про існування такої однозначної функції. Доказ теореми дозволяє побудувати одновимірне перетворення Фур’є цієї функції у вигляді  , де  . Попередньо функція   обчислювалася за допомогою її наближення Тейлора (при  ) , а при   – за допомогою асимптотичного наближення Ганкеля функції  . При цьому у колі точки   було виявлено досить велику похибку. Тому обчислення функції   у діапазоні   проводилося за допомогою наближення Чебишова цієї функції у діапазоні  . Коефіцієнти Чебишова   (розраховувалися у системі Maple 18 з точністю 26 десяткових цифр) та діапазон було обрано за допомогою експерименту, ціллю якого було мінімізувати загальну похибку обчислення функції  . Завдяки використання наближення Чебишова одержана функція   має більш ніж у два рази меншу похибку, ніж за обчисленням за попереднім алгоритмом. Довільне значення функції   обраховується за допомогою шеститочкової схеми Ейткена, яку можна вважати (деякою мірою) згладжувальним фільтром. Застосування шеститочкової схеми Ейткена вносить похибку, яка дорівнює 6% від загальної похибки обчислення функції  , але допомагає значно з’економити час при формуванні АРБФ при вирішенні крайових проблем за допомогою методу колокації.