Дослідження та знаходження 1-ої, 2-ої похідних від складових членів дисперсійного рівняння для плоского двошарового одновимірно-періодичного фотонного кристала

Анотація

Актуальність. Останні десятиріччя спостерігається стрімкий розвиток фотоніки. Тому науковий інтерес до оптичного діапазону електромагнітного випромінювання продовжує зберігати актуальність. Як наслідок, задача про розсіяння електромагнітних хвиль (дифракційна задача) на таких об’єктах як фотонні кристали представляться актуальною задачею. Йдеться про розв’язання хвильового рівняння з подальшим застосуванням методу розділення змінних та переходом до проблеми Штурма-Ліувілля на необмеженому інтервалі . Для дифракційних структур, які розглядаються у роботі, зазначений метод розділення змінних дозволяє отримати розв’язок хвильового рівняння (котре у такому разі виявляється рівнянням з періодичними коефіцієнтами) у явному вигляді. Інший метод – метод матриці перенесення (Transfer matrix method) для хвильового рівняння з періодичними коефіцієнтами дає змогу врахувати специфіку його рішення на необмеженому інтервалі , та досягти виконання складової умови розв’язності проблеми Штурма-Ліувілля – умови про самоспряженість диференціального оператора в цій проблемі. Тож, метод матриці перенесення передбачає побудову та розв’язок так званого дисперсійного рівняння – рівняння, що пов’язує параметри дифракційної задачі з умовами розв’язності проблеми Штурма-Ліувілля. У наслідок цього виникає необхідність у дослідженні складових членів такого дисперсійного рівняння. А саме, виникає необхідність розуміти поведінку розв’язку спектрального рівняння у даній проблемі Штурма-Ліувілля залежно від спектрального параметра. Тому, на думку авторів, пошук похідних від цього розв’язку має актуальність, оскільки апарат похідної у цілому відіграє доволі важливу роль у дослідженні будь-яких функціональних залежностей.

Мета роботи. Визначити першу та другу похідні за спектральним параметром від розв’язку спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля для плоского двошарового одновимірно-періодичного фотонного кристала. А також, показати, що кожна із зазначених похідних лінійно виражається через сам розв’язок та свою похідну, але за просторовою змінною, а вже як наслідок, можливість мати дві лінійні залежності, що дає змогу отримати лінійне однорідне диференціальне рівняння 2-го порядку відносно цього розв’язку. Подальше дослідження зазначеного рівняння у деякій перспективі може послужити розвитку альтернативного апарату розуміння поведінки даного розв’язку як функції спектрального параметра.

show that each of the specified derivatives is linearly expressed through the solution itself and its derivative, but in terms of a spatial variable, and as a consequence, the possibility of having two linear dependencies, which makes it possible to obtain a

Методи і методологія. Умова про самоспряженість диференціального оператора у проблемі Штурма-Ліувілля (складова умова розв’язності проблеми Штурма-Ліувілля) для плоского двошарового нескінченного одновимірно-періодичного фотонного кристала досягається шляхом застосування методу матриці перенесення (Transfer matrix method). Спираючись на принцип невизначених коефіцієнтів, автори використовують підставлення (що запропоновано у роботі) та здійснюють перехід від лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку, розв’язком якого є шукана похідна (2-га похідна), до системи рівнянь, котра розглядається як матричне рівняння. Для розв’язання матричного рівняння використовується метод варіації.

Результати. У поданій роботі визначається друга похідна за спектральним параметром від розв’язку спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля для плоского двошарового одновимірно-періодичного фотонного кристала (необмеженого вздовж періодичності). Визначена похідна лінійно виражається через сам розв’язок та свою похідну, але за просторовою змінною. Також у роботі розв’язується лінійне неоднорідне диференціальне рівняння 2-го порядку, таким чином, власне, й отримується шукана похідна. Таке рівняння вдається розв’язати на основі досліджень та результатів попередніх робіт – робіт з визначення відповідної 1-ї похідної. Втім, варто заначити, що прямої аналогії між методикою визначення 1-ї та 2-ї похідної вбачати не вдається у цьому, зокрема, й виражається змістовність даної роботи.