Аналіз та методологія визначення норми власних функцій як граничний перехід у скалярному добутку в спектральній проблемі Штурма-Ліувілля для фотонного одновимірного кристала
Анотація
Актуальність. Останні десятиріччя (приблизно з 90-х років ХХ-го сторіччя) спостерігається стрімкий розвиток фотоніки. Тому, у першу чергу, злободенність теперішньої роботи пов’язана з актуальністю дифракційних задач для структур оптичного діапазону (фотонних кристалів). Задача про обчислення норми власних функцій проблеми Штурма-Ліувілля, зокрема, виникає при розв’язанні хвильових рівнянь методом розділення змінних, а також при здійсненні переходу від однієї повної до іншої повної ортогональної системи (при зведенні до спільного базису – метод Фур’є). Крім того значущість роботи справедливо пов’язувати з можливістю отримати аналітичну залежність, яка дає явний зв’язок між нормою та самою власною функцією.
У роботі вибудовується підхід до визначення норми власних функцій спектральної проблеми Штурма-Ліувілля для двошарового нескінченного одновимірного фотонного кристала. В основу даного підходу покладається граничний перехід у відповідному скалярному добутку. Невизначеність, що виникає при граничному переході, розкривається за допомогою правила Лопіталя.
Мета роботи – спростити отримане раніше граничне перетворення норми (перетворення, яке безпосередньо виникає при здійсненні граничного переходу у відповідному скалярному добутку). Досягається, головним чином, внаслідок того, що вдається знайти такий розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння (це неоднорідне рівняння отримується взяттям похідної від спектрального рівняння за спектральним параметром), котре задовольняє квазіциклічним умовам на періоді (умовам Флоке). Також автори мали на меті поставити наголос на перевагах теперішнього підходу до обчислення норми, адже останній дає зв’язок між нормою та самою власною функцією у явному вигляді.
Матеріали та методи. Інтеграл, що визначає норму (точніше, скалярний добуток) береться на кінцевому проміжку, тому неоднорідне рівняння, що виникає за Лопіталем, розв’язується на кінцевому проміжку, тобто розв’язок цього неоднорідного рівняння відшукується як розв’язок граничної задачі з граничними умовами – умовами Флоке. Спектральне же рівняння в проблемі Штурма-Ліувілля розв’язується на необмеженому інтервалі , тому для того, щоб вписатися в умови самоспряженості, застосовується метод матриць перенесення (transfer matrix method).
Результати. Було підібрано такий розв’язок, який задовольняє квазіциклічним умовам на періоді (умовам Флоке). Зазначений розв’язок вибирається з множини усеможливих розв’язків неоднорідного диференціального рівняння, яке за Лопіталем, виникає при граничному переході. В наслідок підстановки цього розв’язку вихідне граничне перетворення норми спрощується.
Висновки. Інтерес до перетворення норми, отриманого у наслідок здійснення граничного переходу в відповідному скалярному добутку, справедливо пов’язувати з реалізованою можливостю отримати залежність між нормою та самою власною функцією в аналітичному вигляді. Основна увага приділяється випадку, коли вдається досягти виконання умов Флоке, при отримані розв’язку неоднорідного рівняння, потрібного для знаходження похідної у зв’язку з правилом Лопіталя. У такому разі граничне перетворення норми спрощується.
Завантаження
Посилання
2. Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics. Phys. Rev. Lett. 1987; 58(20): 2059-2062.
3. Kojemyako VP., Ivanov OA, Ivanov I.A. Prospects for the use of photonic crystals in modern data processing systems // Scientific works of VNTU, #4, Information technologies and computer equipment 2012 р.
4. Kazanko O. V., Penkina O. Y. "To differentiating dispersion equation in a diffraction problem for unlimited two-dimension media" Collection of scientific papers "Logos" ΛΌГOΣ, 2019, 36-42 pp.
5. Kazanko O. V., Penkina O. Y. "To differentiating shear solutions of wave equations by longitudinal wave number in a diffraction problem for unlimited band media with metamaterials" Collection of scientific papers ΛΌГOΣ, 2020. 126-130 pp.
6. Markovich B M. Mathematical physics equations: Tutorial – Lviv: Polytechnic Publishing House, 2010 – 384 p.
7. Eastham M. S. P. The spectral theory of periodic differential equations. Edinburg: Scottish Academic Press [distributed by Chatto & Windus, London], 1975.
8. Winkler S., Magnus W. "Hill's Equation" New York, London, Sydney: Interscience Publisher a division John Wiley & Sons, 1996.
9. Samoilenko А. М. Perestyuk М. О., Parasyuk І.О. Deferential equations: Tutorials for students of math. Specializations, 2-th edition – Kyiv: Libid, 2003 – 301 p.
10. Yariv A, Yeh P. Optical waves in crystals – A Wiley inteprieses Publicatuon, New York: Jon Wiley & Sons, 1987 – 616 p.
11. Yakubovich V. A. and Starzhinskii V. M., Linear Differential Equations with Periodic Coefficients (Wiley, New York) 1975.
12. Morozov G. V., Sprung D. W. L. «Floquet-Bloch waves in one-dimensional photonic crystal.» A Letters Journal Exploring Physics, EPL, 96, 2011: 54005:p1-p5.
13. Sprung DWL, Wu H, Martorell J. Scattering by a finite periodic potential. Am. J. Phys. 1993; 61:1118.
14. International conference on ultrawideband and ultrashort impulse signals 2018, 9th, UWBUSIS Odarenko, Alexandr Shmat'ko, Alexandr V. Kazanko, Victiriya N. Mizernik, Natalia G. Shevchenko Surface Plasmon Polariton Resonance of Diffraction Metamaterial Grating :10.1109/UWBUSIS.2018.8519999
