Аналітична форма розв’язку для нестаціонарного електромагнітного поля на границі двох середовищ

Анотація

Актуальність. Використання нестаціонарних електромагнітних хвиль для задач зондування є перспективним через велику інформаційну ємність цих полів та здатність глибоко проникати у середовище із втратами. Практичним застосуванням цих можливостей є імпульсний надширокосмуговий георадар. Вдосконалення його параметрів для широкого використання потребує не тільки точного розв’язання відповідних електродинамічних задач, що зараз забезпечується використанням прямих числових методів розрахунку, але й аналітичних розв’язків, які дозволяють отримувати більш загальну інформацію про фізичні процеси перетворення електромагнітних хвиль. Ця інформація буде більш корисною у випадку одержання розв’язків у часовому просторі. Тому отримання аналітичного розв’язку хоча б для найпростіших моделей, однією з яких є плаский випромінювач з круглою апертурою, є досить актуальним, чому і присвячена дана стаття.

Мета роботи. Аналітично розв’язати нестаціонарну електродинамічну задачу проникнення імпульсної електромагнітної хвилі із одного середовища в інше середовище без втрат. Для досягнення цієї мети з використанням граничних умов необхідно знайти невідомі коефіцієнти із загальних розв’язків рівнянь Клейна-Гордона, що є множниками в еволюційних коефіцієнтах. Також треба дослідити випадки повного проходження та відбиття, за допомогою яких стане можливим уточнити отримані співвідношення.

Матеріали та методи. Задача поширення нестаціонарної імпульсної хвилі розв’язується методом еволюційних рівнянь. Загальний розв’язок рівнянь Клейна-Гордона отримується методом розділення змінних. Розв’язання неоднорідного рівняння Клейна-Гордона здійснюється методом функції Рімана. Пошук зв’язку між невідомими коефіцієнтами з розв’язаних рівнянь відбуватиметься з використанням граничних умов для тангенційних компонентів полів згідно законів класичної електродинаміки.

Результати. З використанням граничних умов класичної електродинаміки знайдено зв’язок між невідомими коефіцієнтами з рівнянь Клейна-Гордона, що описують різні стадії поширення хвиль. Запропонований загальний вигляд шуканого розв’язку, що подібний до формул Френеля. Розв’язок досліджено для крайніх випадків поширення хвиль: повне проходження та відбиття. На основі цих випадків зроблено висновок про загальний випадок розповсюдження хвилі.

Висновки. Еволюційні коефіцієнти, що характеризують електричну та магнітну компоненти поля, були зв’язані між собою умовами на границі середовищ, що дозволило знайти зв’язок між невідомими коефіцієнтами рівнянь Клейна-Гордона. Запропонований загальний розв’язок перевірено шляхом його підстановки до основних формул, що характеризують граничні умови. Для магнітної компоненти досягнуто повне узгодження граничних умов, а електрична складова вимагає додаткового уточнення шляхом введення додаткової поверхневої хвилі.