Розвиток методології переходу від спектрального рівняння відносно просторової змінної до диференціального рівняння відносно спектрального параметра у проблемі Штурма-Ліувілля для одновимірно-періодичного двошарового фотонного кристала

Анотація

Актуальність. У зв’язку із розв’язанням задачі про розсіяння електромагнітних хвиль (дифракційної задачі) на таких об’єктах як фотонні кристали (одновимірно-періодичні необмежені) важливим є дослідження дисперсійного співвідношення. Йдеться про розв’язання хвильового рівняння з подальшим застосуванням методу розділення змінних (для дифракційних структур, які розглядаються у роботі, зазначений метод розділення змінних дозволяє отримати розв’язок хвильового рівняння, котре у такому разі виявляється рівнянням з періодичними коефіцієнтами, у явному вигляді) та переходом до проблеми Штурма-Ліувілля на необмеженому інтервалі . Дисперсійне співвідношення дає змогу зрозуміти умови, при яких проблема Штурма-Ліувілля підлягає вирішенню та пов’язує ці умови з параметрами дифракційної задачі, і тому стає неодмінним щаблем на шляху до отримання розв’язків даного хвильового рівняння. Цей труд продовжує серію виданих раніше робіт з розвитку підходів до вивчення зазначеного дисперсійного співвідношення через розуміння поведінки розв’язку спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля. Метод матриці перенесення (Transfer matrix method) для хвильового рівняння з періодичними коефіцієнтами дає змогу врахувати специфіку його розв’язання на необмеженому інтервалі , та досягти виконання складової умови, при якій проблема Штурма-Ліувілля підлягає вирішенню – умови про самоспряженість диференціального оператора в цій проблемі. Це з одного боку, а з іншого – такий метод наочно указує на місце, яке займає розв’язок спектрального рівняння у дисперсійному співвідношенні.

Мета роботи спрощення одержаного раніше рівняння, що є наслідком спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля для одновимірно-періодичного двошарового фотонного кристала. Зокрема, інтегрування деяких складових членів лінійного представлення 1-ї й 2-ї похідних від розв’язку спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля.

Методи. Метод розділення змінних використовується для розв’язання хвильового рівняння. Метод матриці перенесення (Transfer matrix method) для хвильового рівняння з періодичними коефіцієнтами дає змогу врахувати специфіку його розв’язання на необмеженому інтервалі  та досягти виконання складової умови, при якій проблема Штурма-Ліувілля підлягає вирішенню – умови про самоспряженість диференціального оператора в цій проблемі. Для взяття інтеграла від окремих складових членів лінійного представлення 1-ї й 2-ї похідної від розв’язку спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля використовується метод інтегрування частинами.

Результати. У роботі було показано, що в ході ряду послідовних перетворень, коефіцієнт при нульовій похідній у зведеному диференціальному рівнянні (рівнянні відносно спектрального параметра, до якого здійснюється перехід – згідно з назвою роботи) підлягає спрощенню. Зокрема, було проінтегровано квадрат коефіцієнта лінійного представлення 1-ї похідної від розв’язку спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля.