Норма власних функцій одновимірного фотонного кристала
Анотація
Актуальність. Останні десятиріччя (приблизно з 90-х років ХХ-го сторіччя) спостерігається стрімкий розвиток фотоніки. Звідси з’являється науковий інтерес до оптичного діапазону електромагнітного випромінювання. Сьогодні дифракційна задача про розсіяння електромагнітних хвиль на таких об’єктах як фотонні кристали представляться важливою задачею. Як відомо, ця задача може зводитися до розв’язання хвильового рівняння. Необхідність в обчисленні норми власних функцій спектральної проблеми Штурма-Ліувілля, серед іншого, виникає при переході від однієї повної ортогональної системи до іншої повної ортогональної системи функцій при застосуванні методу розділення змінних, відповідно, для розв’язання зазначеного хвильового рівняння.
Мета роботи. Вказати на прямий підхід до обчислення норми власних функцій спектральної проблеми Штурма-Ліувілля для двошарового нескінченного одновимірного фотонного кристала (тобто прямий підхід до обчислення норми передбачає безпосереднє інтегрування) та запропонувати методологічно інший підхід, в основі якого лежить граничний перехід у скалярному добутку, що відповідно задає дану норму.
Матеріали і методи. Граничний перехід при обчисленні норми власних функцій спектральної проблеми Штурма-Ліувілля для двошарового нескінченного одновимірного фотонного кристала зустрічає труднощі, пов’язані з виникненням невизначеності виду . Таку невизначеність вдається дослідити за правилом Лопіталя. Своєю чергою, правило Лопіталя тягне необхідність у знаходженні похідної від розв’язку спектрального рівняння за спектральним параметром. На цьому шляху доводиться стикнутися з розв’язанням лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку.
Результати. Запропонована методика обчислення норми власних функцій проблеми Штурма-Ліувілля для двошарового нескінченного одновимірного фотонного кристала.
Висновки. На відміну від прямого підходу, запропонована методика дає можливість розуміти характер залежності шуканої норми від самої власної функції (в отриманому кінцевому виразі явно входить сама власна функція). Подальші роботи у зазначеному напрямку можуть спрямовуватися на спрощення кінцевого виразу для норми.
Завантаження
Посилання
2. Yablonovitch E. Photonic Crystals. Journal of Modern Optics. 2007;41(2):173-194. https://doi.org/10.1080/09500349414550261
3. Shmat’ko AA, Kazanko AB, Mizernik VN, Odarenko EN, Yampol’skii VA, Rokhmanova TN, et al. Extraordinary reflection from photonic crystal with metamaterials. 2016 8th International Conference on Ultrawideband and Ultrashort Impulse Signals (UWBUSIS). 2016 Sep; p. 160-162. http://dx.doi.org/10.1109/UWBUSIS.2016.7724177
4. Morozov GV, Sprung DWL. Floquet-Bloch waves in one-dimensional photonic crystals. EPL (Europhysics Letters). 2011 Nov 22;96(5):54005. https://doi.org/10.1209/0295-5075/96/54005
5. Gaughan Richard. Researchers Create Tunable Photonic Bandgap Crystal. Photonics Spectra. 2000;34(1).
6. Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics. Phys. Rev. Lett. 1987;58(20):2059-2062.
7. Winkler S, Magnus W, Hill's Equation. New York, London, Sydney: Interscience Publisher a division John Wiley & Sons; 1996.
8. Ahiyezer NI, Glazman IM. The theory of linear operators in a Hilbert space, 2nd edition: book for students, graduate students, specialists of mathematic. Moscow: Nauka; 1966. 544 p. (In Russian).
9. Domkin KI. Photonic crystals and devices. International symposium treatises: in two volumes edited by N. K. Yurkova vol. 2. Pensa: Pensa State university; 2012. 252-255 p. (In Russian).
10. Kazanko OV, Shmat’ko AA, Odarenko EN. Dispersions characteristics of band structures in diffraction problem of waves on grating with metamaterials. Collection of scientific papers KNURE, radiotechnic; 2015. 77-83 p. (In Russian).
11. Kazanko OV, Penkina OY. To differentiating shear solutions of wave equations by longitudinal wave number in a diffraction problem for unlimited band media with metamaterials. Collection of scientific papers ΛΌГOΣ; 2020. 126-130 p. (In Ukrainian).
12. Kazanko OV, Penkina OE. Experimental and theoretical research in modern sciences .: Collection of scientific works "Logos" with materials of scientific practice. conference. " Differentiation of the dispersion equation in the diffraction problem for an unbounded two-dimensional layered medium. Krakow, Poland: European Science Platform; 2019. 36-42 p. (In Ukrainian).
13. Kotlar VV. Nanophotonic – manipulation of light by the help of nanostructures. Computer optics. Samara State University by academic S. P. Korolov. 2008;32(2):119-135 p. (In Russian).
14. Vilenkin NY, Dobrohotova MA, Safonov AN. The differential equations: Manual studies for students of physical and mathematical fac. [page #111, th.1, consequence and further on in the text]. Moscow: Prosveshenie; 1984. 176 p. (In Russian).
15. Slepov N. Photonic crystal. Future of calculating technic and communications. New technologies Moscow: Electronics: Nauka, Nechnologiya, Biznes 2; 2000. 32-35 p. (In Russian).
16. Hanin SD, Solovyov VG. Physic properties of regular matrix band nanocomposites. Experimental physics; 177-191 p. (In Russian).
17. Yariv A, Yeh P. Optical waves in crystals. A Wiley inteprieses Publicatuon, New York: Jon Wiley & Sons; 1987. 616 p. (In Russian).
18. Guida G. Introduction to photonic band gap materials. Progress In Electromagnetics Research, PIER. 2003;41:1–20.
19. Pandey GN, Thapa KB, Srivastava SK, Ojha SP. Band structures and abnormal behavior of one dimensional photonic crystal containing negative index materials. Progress In Electromagnetics Research M. 2008;2:15–36. https://doi.org/10.2528/PIERM08021501
20. Vladimirov VS. The equations of mathematical phisicsc 4th Edition, Moscow: Nauka, Main editorial office of physical and mathematical literature; 1981. 512 p. (In Russian).
21. Sveshnicov AG, Bogolubov AN, Kravtcov VV. Lecture on of mathematical phisics. Manual studies, Moscow: editorial MSU; 1993. 352 p. (In Ukrainian).
