Mатриця Неванлінни для усіченої матричної проблеми моментів Хаусдорфа через ортогональні матричні поліноми на [a,b] у випадку парної кількості моментів

doi:10.26565/2221-5646-2025-102-01

Б. Е. Медіна-Ернандес Об'єднана аспірантура з математичних наук Національного автономного університету Мексики та Університету Мічоакана-де-Сан-Ніколас-де-Ідальго, Інститут фізики та математики, Будівля C-3, 58060, Морелія, Мічоакан, Мексика https://orcid.org/0000-0002-5072-706X

DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2025-102-01

Ключові слова: усічена матрична проблема моментів Хаусдорфа, матриця Неванлінни, ортогональні матричні поліноми

Анотація

Скалярна проблема моментів була вперше запропонована Т. Й. Стілтьєсом у роботі: ``Recherches sur les fractions continues'', Annals of the Faculty of Sciences of Toulouse 8, 1–122, (1895). Він сформулював її наступним чином: маючи моменти порядку $k$ ($k=0,1,2,\ldots$), знайти додатний розподіл маси на півосі $[0,+\infty)$. Дослідження матричної та операторної проблем моментів було розпочато М. Г. Крейном у його основоположній роботі ``Fundamental aspects of the representation theory of Hermitian operators with deficiency index $(m, m)$'', Translations of the American Mathematical Society, Series II, 97, 75–143, (1949). Дана стаття пов'язана з усіченою проблемою моментів Хаусдорфа (англ. THMM): усіченою матричною проблемою моментів Хаусдорфа на компактному інтервалі $[a,b]$ на відміну від проблеми моментів Стілтьєса на $[0,+\infty)$ та проблеми моментів Гамбургера на $(-\infty,+\infty)$. Наш підхід спирається на метод В. П. Потапова, у якому задача інтерполяції та проблема моментів переформульовуються як еквівалентні матричні нерівності і вводяться допоміжні матриці, що задовольняють властивість $\widetilde{J}_q$-внутрішньої функції класу Потапова разом із системою пар стовпців. Реалізація методу починається з побудови матриць Ганкеля на основі заданих моментів. Якщо ці матриці є додатно напіввизначеними, то THMM проблема є розв'язною. У випадку строгої додатної визначеності, який називають невиродженим, ми перетворюємо відповідні матричні нерівності, щоб отримати матрицю Неванлінни (або резольвенту) THMM проблеми, яка характеризує її розв'язки. Цей підхід було широко застосовано, зокрема в роботі A. E. Choque Rivero, Yu. M. Dyukarev, B. Fritzsche та B. Kirstein: ``A truncated matricial moment problem on a finite interval'', Interpolation, Schur Functions and Moment Problems, Operator Theory: Advances and Applications, Birkh\"auser , Basel, 165, 121–173, (2006). Основний результат цієї роботи полягає у представленні матриці Неванлінни THMM проблеми у термінах ортогональних матричних поліномів (англ. OMP) і пов'язаних з ними поліномів другого роду в точці $b$. Зауважимо, що аналогічне представлення в точці $a$ було отримано раніше в роботі A. E. Choque Rivero, ``From the Potapov to the Krein–Nudel’man representation of the resolvent matrix of the truncated Hausdorff matrix moment problem'', Bulletin of the Mexican Mathematical Society, 21(2), 233–259 (2015). Крім того, ми встановлюємо нові тотожності, що стосуються OMP. і переформульовуємо явний зв'язок між матрицями Неванлінни THMM проблеми в точках $a$ та $b$ за допомогою OMP.

Завантаження

##plugins.generic.usageStats.noStats##

Посилання

N. I. Akhiezer. The classical moment problem and some related questions in analysis. – Hafner Publishing Co. Translated by N. Kemmer, New York– 1965.

A. E. Choque Rivero. Multiplicative structure of the resolvent matrix for the truncated Hausdorff matrix moment problem, Interpolation, Schur Functions and Moment Problems II. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhäuser/Spring Basel AG, Basel. – 2012.– Vol. 226.– P. 193–210. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0428-8_4

A. E. Choque Rivero. The resolvent matrix for the Hausdorff matrix moment problem expressed in terms of orthogonal matrix polynomials, Complex Anal. Oper. Theory. – 2013. – Vol. 7, No 4. – P. 927–944. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-012-0255-5

A. E. Choque Rivero. On Dyukarev’s resolvent matrix for truncated Stieltjes matrix moment problem under the view of orthogonal matrix polynomials, Linear Algebra Appl. – 2015. – Vol. 474. – P. 44–109. DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2015.01.027

A. E. Choque Rivero. Decompositions of the Blaschke–Potapov factors of the truncated Hausdorff matrix moment problem: the case of an odd number of moments, Commun. Math. Anal. – 2014. – Vol. 17, No 2. – P. 66–81.

A. E. Choque Rivero. Decompositions of the Blaschke–Potapov factors of the truncated Hausdorff matrix moment problem: the case of an even number of moments, Commun. Math. Anal. – 2014. – Vol. 17, No 2. – P. 82–97.

A. E. Choque Rivero. From the Potapov to the Krein-Nudel’man representation of the resolvent matrix of the truncated Hausdorff matrix moment problem, Bol. Soc. Mat. Mex. – 2015– Vol. 21, No 2.– P. 233–259. DOI: https://doi.org/10.1007/s40590-015-0060-z

A. E. Choque Rivero. Relations between the orthogonal matrix polynomials on [a,b], Dyukarev-Stieltjes parameters, and Schur complements, Spec. Matrices.– 2017– Vol. 5.– P. 303–318. DOI: https://doi.org/10.1515/spma-2017-0023

A. E. Choque Rivero. On the solution set of the admissible bounded control problem via orthogonal polynomials, IEEE Trans. Automat. Control. – 2017. Vol. 62, No 10.– P. 5213-5219. DOI: https://doi.org/10.1109/TAC.2016.2633820

A. E. Choque Rivero, Y. I. Karlovich. The time optimal control as an interpolation problem, Commun. Math. Anal. – 2011– Vol. 3.– P. 66–76.

A. E. Choque Rivero, V. Korobov, G. Sklyar. The admissible control problem from the moment problem point of view, Appl. Math. Lett.– 2010– Vol. 23, No 1.– P. 58–63.

A. E. Choque Rivero, Yu. M. Dyukarev, B. Fritzsche, B. Kirstein. A truncated matricial moment problem on a finite interval, In Interpolation, Schur Functions and Moment Problems, Oper. Theory Adv. Appl. Birkhäuser, Basel. – 2006– Vol. 165.– P. 121–173. DOI: https://doi.org/10.1007/3-7643-7547-7_4

A. E. Choque Rivero, Yu. M. Dyukarev, B. Fritzsche, and B. Kirstein. A truncated matricial moment problem on a finite interval. The case of an odd number of prescribed moments, In System Theory, the Schur Algorithm and Multidimensional Analysis, volume 176 of Oper. Theory Adv. Appl. Birkhäuser, Basel. – 2007. – Vol. 176. – P. 99–164. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8137-0_2

A. E. Choque Rivero, C. Mädler. On Hankel positive definite perturbations of Hankel positive definite sequences and interrelations to orthogonal matrix polynomials, Complex Anal. Oper. Theory– 2014– Vol. 8, No 8.– P. 121–173. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-013-0349-8

A. E. Choque-Rivero, B. E. Medina-Hernandez. On the Resolvent Matrix of the Truncated Hausdorff Matrix Moment Problem, Complex Anal. Oper. Theory – 2024. – Vol. 18, No 55. – P. 1–27. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-024-01499-0

A. E. Choque-Rivero, B. E. Medina-Hernandez. On two resolvent matrices of the truncated Hausdorff matrix moment problem, Visnyk of V. N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics.– 2022. – Vol. 95. – P. 4–22. DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2022-95-01

A. E. Choque Rivero, M. Winklmeier. Explicit relation between two resolvent matrices of the truncated Hausdorff matrix moment problem, Complex Anal. Oper. Theory. – 2023. – Vol. 17, No 50. – P. 1–34. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-023-01351-x

Yu. M. Dyukarev, A. E. Choque Rivero. Power moment problem on compact intervals, Mat. Sb. – 2001. – Vol. 69, No 1-2.– P. 175–187. DOI: https://doi.org/10.1023/A:1002868117970

Yu. M. Dyukarev. Indeterminacy criteria for the Stieltjes matrix moment problem, Math. Notes. – 2004– Vol. 75, No 1.– P. 66–82. DOI: https://doi.org/10.1023/B:MATN.0000015022.02925.bd

Yu. M. Dyukarev. Indeterminacy of interpolation problems in the Stieltjes class, Sb. Math. – 2005. – Vol. 196, No 3. – P. 367–393. DOI: https://doi.org/10.1070/SM2005v196n03ABEH000884

Yu. M. Dyukarev. A generalized Stieltjes criterion for the complete indeterminacy of interpolation problems, Mat. Zametki.– 2008. – Vol. 84, No 1. – P. 22-37. DOI: https://doi.org/10.1134/S000143460807002X

B. Fritzsche, B. Kirstein, C. Mädler. On the Structure of Hausdorff Moment Sequences of Complex Matrices, In: Colombo, F., Sabadini, I., Struppa, D., Vajiac, M. (eds) Advances in Complex Analysis and Operator Theory. Trends in Mathematics. Birkhäuser, Cham. – 2017.

B. Fritzsche, B. Kirstein, C. Mädler. Matricial canonical moments and parametrization of matricial Hausdorff moment sequences, Complex. Anal. Oper. Theory– 2019– Vol. 13, No 5.– P. 2123–2169.

B. Fritzsche, B. Kirstein, C. Mädler. A Schur–Nevanlinna type algorithm for the truncated matricial Hausdorff moment problem, Complex. Anal. Oper. Theory. – 2021. – Vol. 15, No 2. – P. 129.

B. Fritzsche, B. Kirstein, C. Mädler. The Matricial Szegö Mapping from the Perspective of Schur Analysis, Complex. Anal. Oper. Theory– 2025– Vol. 19, No 21.– P. 1–77. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-024-01629-8

I. V. Kovalishina. Analytic theory of a class of interpolation problems, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. – 1983. – Vol. 47, No 3. – P. 455–497. DOI: https://doi.org/10.1070/IM1984v022n03ABEH001452

M. G. Krein. Fundamental aspects of the representation theory of Hermitian operators with deficiency index (mm), Transl. Ser. II Am. Math. Soc.– 1949. – Vol. 97. – P. 75–143. DOI: https://doi.org/10.1090/trans2/097/06

H. Thiele. Beiträge zu matriziellen Potenzmomentenproblemen, Ph.D. Thesis, Leipzig University. – 2006.

T. J. Stieltjes. Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Sci. Toulouse– 1894– Vol. 8.– P. 1-122.