Вісник Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна. Серія «Maтeмaтикa, приклaднa мaтeмaтикa i механiка»

Mатриця Неванлінни для усіченої матричної проблеми моментів Хаусдорфа через ортогональні матричні поліноми на [a,b] у випадку парної кількості моментів

Б. Е. Медіна-Ернандес — 2025-12-11

Скалярна проблема моментів була вперше запропонована Т. Й. Стілтьєсом у роботі: ``Recherches sur les fractions continues'', Annals of the Faculty of Sciences of Toulouse 8, 1–122, (1895). Він сформулював її наступним чином: маючи моменти порядку $k$ ($k=0,1,2,\ldots$), знайти додатний розподіл маси на півосі $[0,+\infty)$.

Дослідження матричної та операторної проблем моментів було розпочато М. Г. Крейном у його основоположній роботі ``Fundamental

aspects of the representation theory of Hermitian operators with deficiency index $(m, m)$'', Translations of the American Mathematical Society, Series II, 97, 75–143, (1949).

Дана стаття пов'язана з усіченою проблемою моментів Хаусдорфа (англ. THMM): усіченою матричною проблемою моментів Хаусдорфа на компактному інтервалі $[a,b]$ на відміну від проблеми моментів

Стілтьєса на $[0,+\infty)$ та проблеми моментів Гамбургера на $(-\infty,+\infty)$. Наш підхід спирається на метод В. П. Потапова, у якому задача інтерполяції та проблема моментів переформульовуються як еквівалентні матричні нерівності і вводяться допоміжні матриці, що задовольняють властивість $\widetilde{J}_q$-внутрішньої функції класу Потапова разом із системою пар стовпців.

Реалізація методу починається з побудови матриць Ганкеля на основі

заданих моментів. Якщо ці матриці є додатно напіввизначеними, то

THMM проблема є розв'язною. У випадку строгої додатної визначеності, який називають невиродженим, ми перетворюємо відповідні матричні нерівності, щоб отримати матрицю Неванлінни (або резольвенту) THMM проблеми, яка характеризує її розв'язки.

Цей підхід було широко застосовано, зокрема в роботі A. E. Choque Rivero, Yu. M. Dyukarev, B. Fritzsche та B. Kirstein: ``A truncated matricial moment problem on a finite interval'',

Interpolation, Schur Functions and Moment Problems, Operator Theory: Advances and Applications, Birkh\"auser , Basel, 165, 121–173, (2006).

Основний результат цієї роботи полягає у представленні матриці Неванлінни THMM проблеми у термінах ортогональних матричних поліномів (англ. OMP) і пов'язаних з ними поліномів другого роду в точці $b$. Зауважимо, що аналогічне представлення в точці $a$ було отримано раніше в роботі A. E. Choque Rivero, ``From the Potapov to the Krein–Nudel’man representation of the resolvent matrix of the truncated Hausdorff matrix moment problem'', Bulletin of the Mexican Mathematical Society, 21(2), 233–259 (2015). Крім того, ми встановлюємо нові тотожності, що стосуються OMP. і переформульовуємо явний зв'язок між матрицями Неванлінни THMM проблеми в точках $a$ та $b$ за допомогою OMP.

Оператор Якобі та стійкість вертикальних мінімальних поверхонь у субрімановій групі Лі SL(2,R)

Ігор Гавриленко — 2025-12-11

Ми розглядаємо орієнтовані занурені мінімальні поверхні у тривимірних субріманових многовидах, які є вертикальними, тобто перпендикулярними до двовимірного горизонтального розподілу субріманової структури. Раніше ми показали, що вертикальна поверхня є мінімальною в субрімановому сенсі тоді й тільки тоді, коли вона мінімальна в рімановому сенсі, і що з її субріманової стійкості випливає її ріманова стійкість. Ми вводимо субріманову версію оператора Якобі для таких поверхонь і доводимо достатню умову стійкості вертикальних мінімальних поверхонь, що аналогічна до теореми Фішер-Колбрі та Шоена: якщо поверхня допускає додатну функцію з нульовим оператором Якобі, то вона є стійкою.

Далі ми використовуємо техніку операторів Якобі для дослідження вертикальних мінімальних поверхонь у групі Лі $\widetilde{\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})}$, яку можна описати як універсальне накриття розшарування одиничних дотичних векторів гіперболічної площини зі стандартною лівоінваріантною метрикою Сасакі (що відповідає одній з геометрій Терстона) та з двома різними типами субріманових структур. Спочатку ми розглядаємо сім'ю нелівоінваріантних структур, визначених деякими параметрами, знаходимо значення параметрів, для яких існують вертикальні мінімальні поверхні, та описуємо такі повні зв'язні поверхні. Це евклідові напівплощини та циліндри, й усі вони є стійкими в субрімановому сенсі, а отже і в рімановому сенсі. Зокрема, це дає нам приклади структур, що не допускають вертикальних мінімальних поверхонь. Потім ми описуємо повні зв'язні вертикальні мінімальні поверхні для іншої субріманової структури, що є лівоінваріантною. Це напівплощини та гелікоїдальні поверхні, які також виявляються стійкими в субрімановому сенсі, а отже й у рімановому сенсі.

Про диференціювання відносно фільтрів

Дмитро Селютін — 2025-12-11

У статті розглянуто узагальнення поняття похідної функції однієї дійсної змінної на основі теорії фільтрів. Запропоновано нову конструкцію, що дозволяє визначити похідну функції відносно фільтра, який відображає спосіб зближення змінної до заданої точки. На відміну від класичного означення, де границя визначається через прямолінійне зближення аргументу, нове означення дозволяє враховувати ширший спектр підходів до точки, що забезпечує гнучкіший апарат для аналізу локальної поведінки функцій. Введене поняття охоплює класичне означення похідної як частковий випадок при виборі відповідного фільтра. Наведено доведення узагальнення базових властивостей похідної: лінійності, правила добутку, частки, складеної функції. Зокрема, продемонстровано, що похідна відносно фільтра задовольняє ті самі формальні правила диференціювання, що й класична похідна, при збереженні суттєвої гнучкості у виборі характеру зближення аргументу. Отримані результати дозволяють розширити сферу застосування диференціального числення до випадків, де класичний підхід або не є застосовним, або втрачає точність чи інтерпретаційну зручність. Показано, що у деяких ситуаціях похідна за фільтром краще відображає реальні процеси зміни величин, наприклад у задачах з асиметричними або обмеженими околами точки. Запропонований підхід відкриває нові перспективи для застосування в теорії узагальнених функцій, теорії міри та функціональному аналізі. Також у статті наведено приклади застосування нового поняття та здійснено порівняльний аналіз з класичною теорією. Представлений матеріал може бути корисним для дослідників, що працюють у галузі математичного аналізу, а також для викладачів, які прагнуть розширити традиційний підхід до диференціювання. Робота має як теоретичну, так і методологічну цінність, оскільки вводить новий інструмент для подальших досліджень у галузі сучасної математичної теорії границь.

Замкненi вiдношення еквiвалентностi на компактних просторах i пари комутативних C*-алгебр: категорний пiдхiд

Роман Скуріхін — 2025-12-11

У цій статті ми досліджуємо категоріальне узагальнення класичної дуальності Гельфанда–Наймарка між компактними хаусдорфовими просторами та комутативними унітальними C*-алгебрами. Ми встановлюємо еквівалентність між категорією компактних хаусдорфових просторів із замкненими відношеннями еквівалентності та категорією пар, що складаються з комутативної унітальної C*-алгебри та однієї з її унітальних C*-підалгебр. Мотивація полягає в тому, що дуальність Гельфанда може бути збагачена додатковою структурою: замкнені відношення еквівалентності кодують фактор-простори та інваріантність з топологічного боку, тоді як підалгебри відображають обмеження та симетрії з алгебраїчного боку. Теорема Шилова, яка ототожнює замкнені самоспряжені підалгебри з одиницею C(X) з алгебрами функцій, інваріантних відносно замкнених відношень еквівалентності, забезпечує ключовий зв’язок між цими підходами. Ми вводимо категорію EqRel, об’єктами якої є компактні хаусдорфові простори із замкненими відношеннями еквівалентності, а морфізмами — неперервні відображення, що зберігають траєкторії, та категорію C*Pairs, об’єктами якої є пари (A,B), де A — комутативна C*-алгебра з одиницею, а B ⊂ A — C*-підалгебра з одиницею, причому морфізмами є *-гомоморфізми, що зберігають B. У обох напрямах визначаються контраваріантні функтори: (X,R) → (C(X),B_R), де B_R складається з функцій, сталих на R-класах, і (A,B) → (Σ(A),R_B), де Σ(A) — спектр, а R_B пов’язує характери, що збігаються на B. Використовуючи теорему Колмогорова–Гельфанда, перетворення Гельфанда та теорему Шилова, ми показуємо, що ці функтори є взаємно оберненими з точністю до ізоморфізму функторів, і тим самим доводимо, що EqRel ≃ C*Pairsop .

Цей результат показує, що геометричне поняття замкнених відношень еквівалентності на компактних просторах перебуває в повній відповідності з алгебраїчним поняттям унітальних підалгебр комутативних C*-алгебр.