Умови керованостi еволюцiйної системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь у частинних похiдних
Анотація
Теорії керування присвячено багато робіт, але більшу частину з них відносять до звичайних диференціальних рівнянь. Із рівнянь у частинних похідних розглядають, як правило, рівняння математичної фізики, наприклад хвільові [1].
У статті [2] розглянутаеволюційна система диференціальних рівнянь у частинних похідних, де досліджена повна керованістьтаких систем у просторі Л. Шварца при певних умовах на керування. Зокрема було доведено, що якщо власні значення матриці системи $P(s)$ дійсні, то існує керування, яке не залежить від часу. Крім того був досліджен випадок для уявних власних значень.
Метою цієї роботи є дослідження керованості системи лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних при обмеженнях на пошук керування у вигляді $u(x,t)=u(x)\exp(-\alpha t)$, де вектор-функція $u(x)$ належить простору Л. Шварца. Був отриман критерій повної керованості цієї системи у просторі Л. Шварца та навведени приклади як керованої так і некерованої систем. Як наслідок цього критерію було доведено, що системи з обмеженними зверху або знизу дійсними частинами $\mathop{\text{Re}}\lambda_j(s)$ теж є повністю керованими.
Крім того доведено, що системи з одновимірною просторовою змінною є повністю керованими. Наведени приклади на усі випадки.
Розглянуто також диференціальне рівняння у частинних похідних другого порядку за часом. Для нього доведено, що якщо корені характеристичного рівняння задовольняють умовам критерію, то це рівняння повністю керовано. Так рівняння Гельмгольца є повністю керованими.
Завантаження
Посилання
L. V. Fardigola, Controllability Problems for the String Equation on a Half-Axis with a Boundary Control Bounded by a Hard Constant. / SIAM J. Control Optim., 2008. - Vol. 47, No. 4. - P. 2179-2199. DOI: https://doi.org/10.1137/070684057
A. A. Makarov. Controllability of evolution partial differential equation. /Visnyk of V.N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics, – Vol. 83, – 2016, p. 47-56. DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2016-83-04
L. Hörmander. The Analysis of linear partial differential operators. II. / Differential operators with constant coefficients. – Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York Tokyo. – 1983. – 455 p.
L. V. Fardigola. An integral boundary-value problem in a layer for a systemof linear partial differential equations. – 1995, Sb. Math. 186 1671. DOI: https://doi.org/10.1070/SM1995v186n11ABEH000088.
A. A. Makarov, A. V. Chernikova. Well-posedness and parabolicity of the boundary-value problem for systems of partial differential equations. Visnyk of V.N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics, – Vol. 99, – 2024, p. 51–61 (in Ukrainian). DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2024-99-04
Авторське право (c) 2025 Олександр Макаров, Ірина Ніколенко
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
