Умови керованостi еволюцiйної системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь у частинних похiдних - Макаров, Олександр; Ніколенко, Ірина (Вісник Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна. Серія «Maтeмaтикa, приклaднa мaтeмaтикa i механiка», 2025)
Теорії керування присвячено багато робіт, але більшу частину з них відносять до звичайних диференціальних рівнянь. Із рівнянь у частинних похідних розглядають, як правило, рівняння математичної фізики, наприклад хвільові [1]. У статті [2] розглянутаеволюційна система диференціальних рівнянь у частинних похідних, де досліджена повна керованістьтаких систем у просторі Л. Шварца при певних умовах на керування. Зокрема було доведено, що якщо власні значення матриці системи $P(s)$ дійсні, то існує керування, яке не залежить від часу. Крім того був досліджен випадок для уявних власних значень.Метою цієї роботи є дослідження керованості системи лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних при обмеженнях на пошук керування у вигляді $u(x,t)=u(x)\exp(-α t)$, де вектор-функція $u(x)$ належить простору Л. Шварца. Був отриман критерій повної керованості цієї системи у просторі Л. Шварца та навведени приклади як керованої так і некерованої систем. Як наслідок цього критерію було доведено, що системи з обмеженними зверху або знизу дійсними частинами $\mathop{\text{Re}}λ_j(s)$ теж є повністю керованими.Крім того доведено, що системи з одновимірною просторовою змінною є повністю керованими. Наведени приклади на усі випадки.Розглянуто також диференціальне рівняння у частинних похідних другого порядку за часом. Для нього доведено, що якщо корені характеристичного рівняння задовольняють умовам критерію, то це рівняння повністю керовано. Так рівняння Гельмгольца є повністю керованими.