N-точкова гравітаційна лінза як накриття і її профіль накриття

Анотація

Дослідження математичних моделей гравітаційних лінз відносяться до не прямих спостережень. Особливе місце в таких дослідженнях займає візуалізація моделі лінзи. Зображення джерела і його зображень в N-точкової гравітаційної лінзи, в картинній площині, візуалізує математичну модель – алгебраїчне рівняння лінзи. Останнім часом збільшилася кількість досліджень рівняння N-точкової гравітаційної лінзи алгебраїчними методами [6-8]. Такі дослідження дають можливість розглядати гравітаційну лінзу не тільки як алгебраїчний, але і як топологічний об'єкт.
В роботі досліджено рівняння N-точкової гравітаційної лінзи в комплексному вигляді. Йому поставлено у відповідність розшарування над площиною джерела. Ми досліджували одну підродину лінзових рівнянь.
Критична множина рівнянь цієї підродини є замкнутою жордановою кривою. Рівнянням цієї підродини ми поставили у відповідність не тільки векторне розшарування, а й накриття. Розроблено метод опису накриттів, для рівнянь, каустика яких в кінцевій площині є замкнутою жордановою кривою (жорданова каустика). Окремим випадком таких накриттів є накриття для рівняння N-точкової гравітаційної лінзи, критична множина якого є замкнута жорданова крива. Ці рівняння, також, мають жорданову каустику. Метод є подібний до методу опису ріманових поверхонь алгебраїчних функцій, графами - профілями.
Алгоритм побудови накриттів і розроблений метод опису цих накриттів ілюструє приклад накриття, яке задано раціональною не аналітичною функцією комплексного змінного. Накриваюча поверхня має не тільки жорданову каустику, а й точку розгалуження другого порядку в нескінченно віддаленій точці.
У роботі використані методи теорії функцій комплексного змінного, алгебраїчної геометрії, алгебраїчної топології та теорії графів.