Оптимальне зачасом керування на пiдпростiр для двовимiрної та тривимiрної системи

Анотація

Дана стаття присвячена задачі оптимального синтезу на підпростір для 2 і 3-вимірного випадків для лінійної керованої системи $\dot{x_1} = u, \dot{x}_i=x_{i-1}, i=\overline{2,n}$ з $|u|\le1$. Дана задача пов’язана із задачею оптимального синтезу в точку, розв’язання якої було представлено В. І. Коробовим та Г. М. Скляром і ґрунтується на мін-проблемі моментів, але її відмінність від цієї задачі полягає в тому, що кількість невідомих функцій більша за кількість змінних, що вимагає використання методів параметричної оптимізації. Як і в задачі оптимального синтезу в точку, ми шукаємо оптимальний розв’язок у вигляді кускової функції з $u=\pm 1$ і $n-1$ точками перемикання, яка є оптимальною відповідно до принципу максимуму Понтрягіна та теорема про $n$ інтервалів. У цій статті ми розглядаємо методи та проблеми, пов’язані зі знаходженням загального розв’язку задачі оптимізації, а також випадки $n=2$ і $n=3$. Synthtc отриманих результатів полягає в тому, що на відміну від розв'язку для однієї кінцевої точки $x_T$ загальний розв'язок для підпростору може мати менше ніж $n-1$ точок перемикання або не мати точок перемикання взагалі, залежно від параметрів підпростору. У нашій роботі наведено розв’язок задачі синтезу для двовимірної системи на підпростір $G: {x_2 = k x_1}$ для всіх значень $k$ з використанням мін-проблеми моментів та методів оптимізації. Для тривимірної системи розглянуто задачу синтезу на площину $x_3 = k_1 x_1 + k_2 x_2$ і отримано кількість точок перемикання залежно від значень $k_1$ і $k_2$, також побудовано траєкторії та отримано рівняння для оптимального часу $\Theta$ для різних випадків.