Правило Крамера для неявного лінійного диференціального рівняння над неархімедовим кільцем
Анотація
Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння $m$-го порядку у кільці формальних степеневих рядів з коефіцієнтами з деякого поля нульової характеристики. Таке рівняння має нескінченно багато розв' язків у цьому кільці -- єдиний розв' язок для кожної початкової умови відповідної задачі Коші. Ці розв' язки можуть бути знайдені за допомогою класичних методів теорії диференціальних рівнянь.
Розглянемо таке рівняння у випадку, коли коєфіцієнти рівняння і коефіцієнти неоднорідності належать до деякої області цілісності $K$ і будемо шукати розв' язок у вигляді формального степеневого ряду з коефіцієнтами з цієї області цілісності. Методи класичної теорії не дають нам змоги з'ясувати, чи існуватиме початкова умова, що відповідає розв' язку з коефіцієнтами із $K$ і яка саме.
Для роз' вязання цієї задачи ми користуємося методом, що був запропонований у роботі У. Бродджі, який знаходить формальний розв' язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння у вигляді деякого спеціального ряду.
У попередніх роботах знайдено достатні умови існування та єдиності такого розв'язку для деякого класу кілець $K$ з неархімедевим нормуванням. У випадку виконання цих умов розглянуто формальний степеневий ряд, отриманий за допомогою методу Бродджі. Коефіцієнтами цього ряду є суми рядів, які збігаються у розглянутій неархімедовій топології до елементів із кільця $K$. Показано, що цей ряд є розв' язком нашого рівняння у кільці $K[[x]]$.
Варто відмітити, що таке рівняння у кільці формальних степеневих рядів можна розглядати як нескінченну лінійну систему рівнянь відносно коефіцієнтів невідомого формального степеневого ряду.
В цій статті доведено, що цю систему можна розв'язувати за допомогою деякого аналогу методу Крамера, в якому визначники нескінченних матриць знаходяться як границі скінченних визначників у неархімедовій топології.
Завантаження
Посилання
S. Gefter, A. Goncharuk, Linear Differential Equation with Formal Power Series Non-Homogeneity Over a Ring with a Non-Archimedean Valuation, ArXiv. - 2021. DOI: 10.48550/ARXIV.2112.02528.
H. Cartan. Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, Dover Books on Mathematics. - 2013. Courier Corporation, 228 p.
E. Kamke. Differentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen. - 2013. (in German) DOI: 10.1007/978-3-663-05925-7.
S. Gefter, A. Goncharuk. Generalized backward shift operators on the ring Z[[x]], Cramer’s rule for infinite linear systems, and p-adic integers. In: A. Bottcher, D. Potts, P. Stollmann, D. Wenzel (eds) The Diversity and Beauty of Applied Operator Theory. Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 268, Birkhauser, Cham. - 2018. - P. 247-259. DOI: 10.1007/978-3-319-75996-8_13.
A. B. Goncharuk, Implicit linear difference equations over a non-Archimedean ring, Visnyk of V. N. Karazin Kharkiv National University, Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics. - 2021. Vol. 93. - P. 18-33. DOI: 10.26565/2221-5646-2021-93-03.
S. Lang. Algebra. - 2002. Springer-Verlag, New York, XV+918 p. DOI: 10.1007/978-1-4613-0041-0.
H. Grauert, R. Remmert. Analytische Stellenalgebren (in German), Ser. ``Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften''. - 1971. Springer-Verlag, 242 p. DOI: 10.1007/978-3-642-65033-8.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
