Двоточкова крайова задача для систем псевдодиференціальних рівнянь з крайовими умовами, що містять псевдодиференціальні оператори

Анотація

У роботі розглядається двоточкова крайова задача для псевдодиференціальних рівнянь та систем псевдодиференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами, що містять псевдодиференціальні оператори. Необхідність розгляду псевдодиференціальних операторів обумовлена тим, що, по-перше, у прикладних задачах все частіше виникають рівняння з такими операторами, а по-друге, розглядаючи такі рівняння, вдається досягти коректності крайової задачі в просторі Л.\,Шварца $S$ і в двоїстому до нього просторі.Спочатку розглядається скалярне псевдодиференціальне рівняння з символом з~простору $ C_{-\infty}^{\infty}$, що складається з нескінченно диференційовних функцій, якх зростають степеневим чином. Для такого рівняння зазначається конкретний вид крайової умови, за якою крайова задача коректна у просторі $S$. Крім того, наведено приклад диференціально-різніцевого рівняння та конкретні крайові умови з псевдодиференціальним оператором типу згортки, за яких дана крайова задача, є коректною у просторі~$S$.Потім розглядається система двох псевдодифференціальних рівнянь із символами з простору $ C_{-\infty}^{\infty}$ і для цієї системи доводиться існування корректної краєвої задачі в просторі $S$. При доведенні використовується перетворення Фур'є і зведення системи до трикутного виду. Для цього випадку також наведено приклад такої системи та вказаний конкретний вид крайової умови, при якої ця крайова задача є коректною у просторі $S$. Таким чином, у роботі доведено, що для будь-якого псевдодиференціального рівняння, а також для системи двох псевдодиференціальних рівнянь завжди існує коректна крайова задача у просторі $S$, при цьому крайові умови містять псевдодиференціальні оператори. Також вказано алгоритм побудови коректних крайових умов, які є псевдодиференціальними операторами, символи якіх залежать від смволів псевдодиференціальних рівнянь.