Про зв'язок між статистичним ідеалом та ідеалом, породженим модульною функцією

Анотація

Ідеал на довільній непорожній множині $\Omega$ - це непорожня сім'я підмножин $\mathfrak{I}$ множини $\Omega$, яка задовольняє наступним умовам: $\Omega \notin \mathfrak{I}$, якщо $A, B \in \mathfrak{I}$, то $A \cup B \in \mathfrak{I}$, якщо $A \in \mathfrak{I}$ і $D \subset A$, то $D \in \mathfrak{I}$. Теорія ідеалів є дуже популярною областю сучасних математичних досліджень. В даній роботі досліджено деякі спеціальні класи ідеалів на множині натуральних чисел $\mathbb{N}$, а саме ідеал статистичної збіжності $\mathfrak{I}_s$, або статистичний ідеал, та ідеал $\mathfrak{I}_f$, який задано модульною функцією $\mathfrak{I}_f$. Статистичний ідеал -- це сім'я підмножин множини $\mathbb{N}$, які мають нульову натуральну щільність, тобто $A \in \mathfrak{I}_s$ тоді і тільки тоді, коли $\displaystyle\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{\#\{k \leq n: k \in A\}}{n} = 0$. Функцію $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ називають модульною функцією, якщо $f(x) = 0$ тільки при $x = 0$, $f(x + y) \leq f(x) + f(y)$ для будь-яких $x, y \in \mathbb{R}^+$, $f(x) \le f(y)$ якщо $x \le y$, $f$ неперервна справа в 0, і $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(n) = \infty$. Ідеал, який задано модульною функцією -- це сім'я підмножин множини $\mathbb{N}$, які мають нульову $f$-щільність, тобто $A \in \mathfrak{I}_f$ тоді і тільки тоді, коли $\displaystyle\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{f(\#\{k \leq n: k \in A\})}{f(n)} = 0$. Відомо, що для довільної модульної функції $f$ ми маємо наступне включення: $\mathfrak{I}_f \subset \mathfrak{I}_s$. В нашій статті ми даємо повний опис таких модульних функцій $f$, що $\mathfrak{I}_f = \mathfrak{I}_s$. Далі ми досліджуємо отриманий результат, наводимо деякі часткові випадки основного результату та доводимо просту достатню умову для рівності $\mathfrak{I}_f = \mathfrak{I}_s$. Останній розділ нашої роботи присвячено розгляду прикладів конкретних модульних функцій $f$, для котрих $\mathfrak{I}_f = \mathfrak{I}_s$ і $\mathfrak{I}_f \neq \mathfrak{I}_s$. А саме, у випадку $f(x) = x^p$, при $p \in (0, 1]$ маємо $\mathfrak{I}_f = \mathfrak{I}_s$; якщо $f(x) = \log(1 + x)$, маємо $\mathfrak{I}_f \neq \mathfrak{I}_s$. Далі в якості прикладу ми розглядаємо більш складну функцію $f$, яка має рекурентну побудову, і яка показує, що умови основного результату даної роботи не можна послабити до одного часткового випадку.