Про дві матриці розв'язання задачі усіченого матричного моменту Хаусдорфа

Анотація

Ми розглядаємо усічену матричну проблему моментів Хаусдорфа у випадку скінченної парної кількості моментів, яка називається невиродженою, якщо дві блочні Ганкелеві матриці, побудовані за допомогою моментів, є додатно визначеними. Множина розв'язків усіченої проблеми моментів Хаусдорфа у випадку скінченної парної кількості моментів задається за допомогою так званої резольвентної матриці. Резольвентна матриця усіченої проблеми моментів Хаусдорфа у невиродженому випадку для матричних моментів вимірности $q\times q$ є $2q\times 2q$ матричним поліномом, який будується за допомогою заданих моментів.

У 2001 р., в роботі [Yu.M. Dyukarev, A.E. Choque Rivero, Power moment problem on compact intervals, Mat. Sb.-2001.-69(1-2).-P.175-187], для згаданої вище усіченої проблеми моментів Хаусдорфа вперше була запропонована резольвентна матриця $V^{(2n+1)}$. У 2006 р., в роботі [A. E. Choque Rivero, Y. M. Dyukarev, B. Fritzsche and B. Kirstein, A truncated matricial moment problem on a finite interval, Interpolation, Schur Functions and Moment Problems. Oper. Theory: Adv. Appl. -2006. - 165. - P. 121-173], була дана інша резольвентна матриця $U^{(2n+1)}$ для тієї самої проблеми. В даній роботі ми доводимо, що існує явне співвідношення між цими двома резольвентними матрицями вигляду $V^{(2n+1)}=AU^{(2n+1)}B$, де $A$ і $B$ -- сталі матриці. Ми також фокусуємось на наступній відмінності: для визначення резольвентної матриці $V^{(2n+1)}$ має виконуватися додаткова умова, у порівнянні з визначенням резольвентної матриці $U^{(2n+1)}$, для якої вимагається лише щоб дві блочні Ганкелеві матриці були додатно визначені.

У 2015 р., в роботі [A. E. Choque Rivero, From the Potapov to the Krein-Nudel’man representation of the resolvent matrix of the truncated Hausdorff matrix moment problem, Bol. Soc. Mat. Mexicana. – 2015.– 21(2). – P. 233–259], було дане зображення резольвентної матриці, отриманої в 2006 р., через матричні ортогональні поліноми. В даній роботі ми не пов'язуємо резольвентну матрицю $V^{(2n+1)}$ з результатами [A.E. Choque Rivero, From the Potapov to the Krein-Nudel’man representation of the resolvent matrix of the truncated Hausdorff matrix moment problem, Bol. Soc. Mat. Mexicana. – 2015. – 21(2). – P. 233–259]. Важливість співвідношення між $U^{(2n+1)}$ і $V^{(2n+1)}$ пояснюється тим, що можуть бути знайдені нові співвідношення між ортогональними матричними поліномами, множниками Бляшке-Потапова, параметрами Дюкарева-Стілтьєса і матричними неперервними дробами. Хоча в даній роботі використовуються алгебраїчні
тотожності для доведення співвідношення між $U^{(2n+1)}$ і $V^{(2n+1)}$, аналітичне обґрунтування обох резольвентних матриць спирається на метод В.П. Потапова. Цей підхід був успішно розвинений в багатьох роботах, пов'язаних з матричними проблемами інтерполяції в класі функцій Неванлінни і матричною проблемою моментів.