Про дві матриці розв'язання задачі усіченого матричного моменту Хаусдорфа
Анотація
Ми розглядаємо усічену матричну проблему моментів Хаусдорфа у випадку скінченної парної кількості моментів, яка називається невиродженою, якщо дві блочні Ганкелеві матриці, побудовані за допомогою моментів, є додатно визначеними. Множина розв'язків усіченої проблеми моментів Хаусдорфа у випадку скінченної парної кількості моментів задається за допомогою так званої резольвентної матриці. Резольвентна матриця усіченої проблеми моментів Хаусдорфа у невиродженому випадку для матричних моментів вимірности $q\times q$ є $2q\times 2q$ матричним поліномом, який будується за допомогою заданих моментів.
У 2001 р., в роботі [Yu.M. Dyukarev, A.E. Choque Rivero, Power moment problem on compact intervals, Mat. Sb.-2001.-69(1-2).-P.175-187], для згаданої вище усіченої проблеми моментів Хаусдорфа вперше була запропонована резольвентна матриця $V^{(2n+1)}$. У 2006 р., в роботі [A. E. Choque Rivero, Y. M. Dyukarev, B. Fritzsche and B. Kirstein, A truncated matricial moment problem on a finite interval, Interpolation, Schur Functions and Moment Problems. Oper. Theory: Adv. Appl. -2006. - 165. - P. 121-173], була дана інша резольвентна матриця $U^{(2n+1)}$ для тієї самої проблеми. В даній роботі ми доводимо, що існує явне співвідношення між цими двома резольвентними матрицями вигляду $V^{(2n+1)}=AU^{(2n+1)}B$, де $A$ і $B$ -- сталі матриці. Ми також фокусуємось на наступній відмінності: для визначення резольвентної матриці $V^{(2n+1)}$ має виконуватися додаткова умова, у порівнянні з визначенням резольвентної матриці $U^{(2n+1)}$, для якої вимагається лише щоб дві блочні Ганкелеві матриці були додатно визначені.
У 2015 р., в роботі [A. E. Choque Rivero, From the Potapov to the Krein-Nudel’man representation of the resolvent matrix of the truncated Hausdorff matrix moment problem, Bol. Soc. Mat. Mexicana. – 2015.– 21(2). – P. 233–259], було дане зображення резольвентної матриці, отриманої в 2006 р., через матричні ортогональні поліноми. В даній роботі ми не пов'язуємо резольвентну матрицю $V^{(2n+1)}$ з результатами [A.E. Choque Rivero, From the Potapov to the Krein-Nudel’man representation of the resolvent matrix of the truncated Hausdorff matrix moment problem, Bol. Soc. Mat. Mexicana. – 2015. – 21(2). – P. 233–259]. Важливість співвідношення між $U^{(2n+1)}$ і $V^{(2n+1)}$ пояснюється тим, що можуть бути знайдені нові співвідношення між ортогональними матричними поліномами, множниками Бляшке-Потапова, параметрами Дюкарева-Стілтьєса і матричними неперервними дробами. Хоча в даній роботі використовуються алгебраїчні
тотожності для доведення співвідношення між $U^{(2n+1)}$ і $V^{(2n+1)}$, аналітичне обґрунтування обох резольвентних матриць спирається на метод В.П. Потапова. Цей підхід був успішно розвинений в багатьох роботах, пов'язаних з матричними проблемами інтерполяції в класі функцій Неванлінни і матричною проблемою моментів.
Завантаження
Посилання
A. E. Choque Rivero, Y. M. Dyukarev, B. Fritzsche and B. Kirstein, A truncated matricial moment problem on a finite interval, Interpolation, Schur Functions and Moment Problems. Oper. Theory: Adv. Appl. - 2006. - 165. - P. 121-173. DOI: 10.1007/3-7643-7547-7_4.
A. E. Choque Rivero, Y. M. Dyukarev, B. Fritzsche and B. Kirstein, A truncated matricial moment problem on a finite interval. The case of an odd number of prescribed moments, Interpolation, Schur Functions and Moment Problems. Oper. Theory: Adv. Appl. - 2007. - 176. - P. 99-174. DOI: 10.1007/978-3-7643-8137-0_2.
A. E. Choque Rivero, V. I. Korobov, G. M. Sklyar, The admissible control problem from the moment problem point of view, Appl. Math. Lett. -- 2010. -- 23(1). -- P. 58--63. DOI: 10.1016/j.aml.2009.06.030.
A. E. Choque Rivero and Yu. Karlovich, The time optimal control as an interpolation problem, Commun. Math. Anal. - 2011. - 3. - P. 1-11.
A. E. Choque Rivero, Multiplicative structure of the resolvent matrix for the truncated Hausdorff matrix moment problem, Operator Theory: Advances and Applications. -- 2012. -- 226. -- P. 193--210. DOI: 10.1007/978-3-0348-0428-8_4.
A. E. Choque Rivero, Decompositions of the Blaschke-Potapov factors of the truncated Hausdorff matrix moment problem. The case of even number of moments, Commun. Math. Anal. - 2014. - 17(2). - P. 82-97.
A. E. Choque Rivero, On Dyukarev's resolvent matrix for a truncated Stieltjes matrix moment problem under the view of orthogonal matrix polynomials, Linear Algebra and its Applications - 2015. - 474. - P. 44-109. DOI: 10.1016/j.laa.2015.01.027.
A. E. Choque Rivero, From the Potapov to the Krein-Nudel'man representation of the resolvent matrix of the truncated Hausdorff matrix moment problem, Bol. Soc. Mat. Mexicana. -- 2015. -- 21(2). -- P. 233--259. https://doi.org/10.1007/s40590-015-0060-z.
A. E. Choque Rivero, Dyukarev-Stieljtes parameters of the truncated Hausdorff matrix moment problem, Boletin Soc. Mat. Mexicana. - 2017. - 23(2). - P. 891--918. https://doi.org/10.1007/s40590-015-0083-5.
A. E. Choque Rivero, On the solution set of the admissible bounded control problem via orthogonal polynomials, IEEE Trans. Autom. Control. - 2017. -- 62(10). -- P. 5213--5219. https://doi: 10.1109/TAC.2016.2633820.
A. E. Choque Rivero, Relations between the orthogonal matrix polynomials on [a,b], Dyukarev-Stieltjes parameters, and Schur complements, Spec. Matrices. -- 2017. -- 5. -- P. 303--318. https://doi.org/10.1515/spma-2017-0023.
A. E. Choque Rivero, A multiplicative representation of the resolvent matrix of the truncated Hausdorff matrix moment problem via new Dyukarev-Stieltjes parameters, Visnyk of V. N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics - 2017. - 85. - P. 16-42. DOI: 10.26565/2221-5646-2017-85-02.
A. E. Choque Rivero, Three-term recurrence relation coefficients and continued fractions related to orthogonal matrix polynomials on the finite interval [a,b], Linear and Multilinear Algebra, 2020. - P. 1-20. https://doi.org/10.1080/03081087.2020.1747967.
A. E. Choque Rivero, S. M. Zagorodnyuk, An algorithm for the truncated matrix Hausdorff moment problem, Commun. Math. Anal. - 2014. - 17(2). - P. 108-130.
A. Dubovoj, B. Fritzsche and B. Kirstein, Matricial Version of the Classical Schur Problem, Teubner-Texte Math. (Teubner Texts in Mathematics), vol. 129, Teubner Verlagsgesellschaft mbH, Stuttgart, 1992.
Yu. M. Dyukarev, Indeterminacy criteria for the Stieltjes matrix moment problem, Math. Notes. - 2004. - 75(1-2). - P. 66-82. https://doi.org/10.1023/B:MATN.0000015022.02925.bd.
Yu. M. Dyukarev, Indeterminacy of interpolation problems in the Stieltjes class, Mat. Sb. - 2005. - 196(3). - P. 61-88.
https://doi.org/10.1070/SM2005v196n03ABEH000884.
Yu. M. Dyukarev, A Generalized Stieltjes Criterion for the Complete Indeterminacy of Interpolation Problems, Math. Notes. -- 2008. -- 84(1). -- P. 23--39. https://doi.org/10.1134/S000143460807002X.
Yu. M. Dyukarev and A. E. Choque Rivero, Power moment problem on compact intervals, Mat. Notes -- 2001. -- 69(1-2). -- P. 175--187. https://doi.org/10.1023/A:1002868117970.
Yu. M. Dyukarev and A. E. Choque Rivero, A matrix version of one Hamburger theorem, Mat. Sb. - 2012. -- 91(4). -- P. 522-529. https://doi.org/10.1134/S0001434612030236.
B. Fritzsche, B. Kirstein and C. Madler, On Hankel nonegative definite sequences, the canonical Hankel parametrization, and orthogonal matrix polynomials, Compl. Anal. Oper. Theory. -- 2011. -- 5(2). -- P. 447--511. https://doi.org/10.1007/s11785-010-0054-9.
B. Fritzsche, B. Kirstein and C. Madler, A Schur–Nevanlinna type algorithm for the truncated matricial Hausdorff moment problem, Compl. Anal. Oper. Theory. - 2021. - 15(25). - P. 1-129. https://doi.org/10.1007/s11785-020-01051-w.
I. V. Kovalishina, Analytic theory of a class of interpolation problems, Izv. Math. - 1983. - 47(3). - P. 455-497. https://doi.org/10.1070/IM1984v022n03ABEH001452.
E. Freitag and R. Busam. Complex analysis. 2005. Springer--Verlag.
H. Thiele. Beitr"age zu matriziellen Potenzmomentenproblemen, PhD Thesis. Leipzig University, 2006. In German.
S. M. Zagorodnyuk, The truncated matrix Hausdorff moment problem, Methods Appl. Anal. - 2012. - 19(1). - P. 021-042. DOI: 10.4310/MAA.2012.v19.n1.a2.
Авторське право (c) 2022 A. E. Choque-Rivero, B. E. Medina-Hernandez
![Ліцензія Creative Commons](http://i.creativecommons.org/l/by-nc-nd/4.0/88x31.png)
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).