Метод задачі Рімана-Гільберта для інтегровного нелокального нелінійного рівняння Шредінгера з початковими даними типу сходинки

Анотація

Ми розглядаємо задачу Коші для інтегровного нелокального нелінійного рівняння Шредінгера (ННШ)
\[
iq_{t}(x,t)+q_{xx}(x,t)+2 q^{2}(x,t)\bar{q}(-x,t)=0
\]
з початковими даними типу сходинки: $q(x,0)=o(1)$, при $x\to-\infty$, $q(x,0)=A+o(1)$, при $x\to\infty$, де $A>0$ -- будь-яка константа. Ми розробляємо метод оберненої задачі розсіяння для цієї задачі у вигляді методу задачі Рімана-Гільберта, та отримуємо зображення для розв’язку вихідної задачі у термінах розв’язку відповідної задачі аналітичної факторизації типу Рімана-Гільберта, яке може бути ефективно використано для подальшого дослідження властивостей розв’язку, зокрема, його асимптотики за великим часом.