Родина атомно-радіальних функцій трьох незалежних змінних, згенерованих оператором типу Гельмгольца

Анотація

У статті представлено алгоритм побудови сімейства атомарних радіальних базисних функцій трьох незалежних змінних , що породжуються оператором типу Гельмгольца, які використовуються в якості базисних при реалізації безсіткових методів розв’язку крайових задач в анізотропних твердих тілах. Рівняння типу Гельмгольца відіграють значну роль в математичній фізиці завдяки додаткам, в яких вони виникають. Зокрема, рівняння теплопровідності для анізотропних твердих тіл в процесі чисельного розв’язку зводиться до рівняння, яке містить диференціальний оператор спеціального виду (оператор типу Гельмгольца), який включає в себе компоненти тензора другого рангу, що визначає анізотропію матеріалу. Сімейство атомарних радіальних базисних функцій  є нескінченно диференційованими фінітними розв’язками функціонально-диференціального рівняння спеціального виду. Вибір фінітних функцій в якості базисних дає можливість розглядати крайові задачі на областях зі складною геометричною конфігурацією. Функції  містять параметр форми , який дозволяє варіювати розмір носія та може уточнюватися в процесі розв’язку крайової задачі. Отримано явні формули для обчислення функцій  та їх перетворення Фур’є. В роботі представлені візуалізації атомарних функцій  та їх перших похідних за змінними  і  при фіксованому значенні змінної  для ізотропного та анізотропного випадків. Ефективність використання атомарних функцій  в якості базисних демонструється на прикладі тривимірної нестаціонарної задачі теплопровідності з рухомим джерелом тепла.  Наведено результати чисельного розв’язку тестової крайової задачі, а також обчислені середня відносна, середня абсолютна і максимальна похибки наближених розв’язків, які отримані за допомогою атомарних радіальних базисних функцій  та мультиквадратичних радіальних базисних функцій.