Алгебраізація в задачі стійкісті стаціонарних хвиль рівняння клейна-гордона
Анотація
Розглянуто нелінійні бігучі хвилі рівняння Клейна-Гордона з кубічною нелінійністю. Ці хвилі описуються звичайним диференціальним рівнянням другого порядку, що має інтеграл енергії. Лінеарізоване рівняння у варіаціях для таких хвиль трансформується у звичайне диференціальне рівняння за допомогою розподілення змінних. Потім використовується так звана алгебраізація за Айнсом. А саме, у рівняння в варіаціях вводиться нова незалежна змінна, що пов’язана з рішенням, яке розглядається. Під час такої трансформації використовується інтеграл енергії для стаціонарних хвиль. Перевага такого підходу зв’язана з тим, що для аналізу проблеми стійкості не треба використовувати специфічний вигляд рішення, що розглядається. В результаті такої алгебраізації рівняння у варіаціях зі змінними за часом коефіцієнтами перетворюється у рівняння з особливими точками. Знайдено індекси особливих точок. Отримано необхідні умови стійкості хвиль. Рішення рівнянь у варіаціях, що відповідають межам регіонів стійкості / нестійкості в просторі параметрів системи побудовано у вигляді степеневих рядів за новою незалежною змінною. Можуть бути виписані нескінченні рекурентні системи алгебраїчних рівнянь для розрахунку коефіцієнтів цих рядів. Нетривіальні розв’язки таких систем можуть бути отримані, якщо їх визначники дорівнюють нулю. Ці визначники розраховано до п’ятого порядку включно, а потім отримано зв’язки між параметрами системи і відповідні межі регіонів стійкості/ нестійкості в площині параметрів системи. А саме, встановлено зв’язки між параметрами ангармонізму та енергії хвилі. Аналітичні результати проілюстровано чисельним моделюванням за допомогою процедури Рунге-Кутти. Спостерігається відповідність чисельних та аналітичних результатів.
Завантаження
Посилання
G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, (Wiley, New York, 1999).
V. Benci and D. Fortunato, Varionational Methods in Nonlinear Field Equations. Springer Monographs in mathematics. (Springer, Switzerland, 2014).
A.D. Polyanin and V.F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, (Boca Raton, Chapman & Hall/CRC, 2004).
O. Waldron and R. A. Van Gorder, Physica Scripta, 92(10), 105001, 2017, https://doi.org/10.1088/1402-4896/aa86fa.
Е.I. Yakubovich, in: Нелинейные волны [Nonlinear waves], (Nauka, Moscow, 1979), 62-67. (in Russian)
N. Budinsky and T. Bountis, Physica D, 8(3), 445—452 (1983), https://doi.org/10.1016/0167-2789(83)90236-1.
A. Ghazaryan, S. Lafortune and V. Manukian, Philosophical Transactions of The Royal Society A. Mathematical Physical and Engineering Sciences, 376(2117), 20180001 (2018), https://doi.org/10.1098/rsta.2018.0001.
R.L. Ince, Ordinary Differential Equations. (Longmans Green, London, 1926).
Yu.V. Mikhlin and A.L Zhupiev, Int. J. of Non-Linear Mechanics, 32(2), 393-409, (1997), https://doi.org/10.1016/S0020-7462(96)00047 9.
Yu.V. Mikhlin, T.V. Shmatko and G.V. Manucharyan, Computer & Structures, 82(31), 2733–2742, 2004, https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2004.03.082.
K.V. Avarmov, Yu.V. Mikhlin, Нелинейная динамика упругих систем. Т.1. Модели, методы, явления (Издание 2-е исправленное и дополненное) [Nonlinear Dynamics od Elastic Systems, V.1] (IKI, Moscow-Izhevsk, 2015). (in Russian)
A.F. Vakakis, L.I. Manevitch, Y.V. Mikhlin, V.N. Pilipchuk and A.A. Zevin, Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems, (Wiley, New York, 1996).
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
