Від Клуатр-Остерманн-Рансфорд до Окубо-Андо

Анотація

Нехай $\mathcal A$ — унітальна операторна алгебра, а $\theta: \mathcal A \to B(\mathcal H)$ — неперервний унітальний гомоморфізм. Ми доводимо, що для всіх $n \in \mathbb{N}$ та всіх $\beta$ у дуальному просторі до $\mathcal{A}$, \begin{equation*} \|\theta^{(n)}\| \le \max(1, \|\theta^{(n)} + \beta^{(n)} I \|). \end{equation*} Тут $\theta^{(n)}: M_n(\mathcal A) \to B(\mathcal H^n)$ позначає $n$-ту матричну ампліацію відображення $\theta$. Це розширює результат Клуатра, Остермана та Рансфорда (випадок $n=1$), які були мотивовані гіпотезою Крузейкса. Наш результат дозволяє нам контролювати повністю обмежену норму $\theta$, що, у свою чергу, має теоретико-дилатаційні наслідки.   Як застосування, ми отримуємо новий доказ теореми подібності Окубо та Андо, яка стверджує, що якщо $T \in B(\mathcal H)$ є оператором класу $C_\rho$, де $\rho \ge 1$, тоді існує оборотний оператор $S$ такий, що $\|S^{-1} T S \| \le 1$ та такий, що $\|S\| \|S^{-1}\| \le \rho$. Висновок теореми Окубо--Андо означає, що нерівність \[ \|f(T)\| \le \rho \|f\|_{\overline{\mathbb D}} \] виконується для всіх поліномів $f$. Прямий доказ цієї нерівності нещодавно надали Клу\^атр, Остерманн та Рансфорд. Наш основний результат показує, що ця нерівність насправді виконується для матрично-значних поліномів, так що існування подібності $S$ випливає з теореми подібності Паульсена, яка стверджує, що оператор $T$ є повністю поліноміально обмеженим з константою $\rho$ тоді і тільки тоді, коли існує оборотний оператор $S$ такий, що $\|S^{-1} T S \| \le 1$ та такий, що $\|S\| \|S^{-1}\| \le \rho$.   Ключем до доведення нашого основного результату є адаптація варіаційного аргументу Колдуелла, Грінбаума та Лі до матрично-значних голоморфних функцій. Замість роботи з біголоморфними автоморфізмами диска, ми працюємо з перетвореннями Потапова--Мебіуса $m_A$, де $A$ належить одиничній кулі $M_n(\mathbb C)$. Дещо спрощена версія нашої ключової леми, яка показана за допомогою цієї техніки, тоді звучить так: Якщо $R \in M_n(B(\mathcal H))$ задовольняє $\|R\| > 1$ та $\|m_{A \otimes I}(R)\| \le \|R\|$ для всіх $A$, близьких до $0$, та якщо $x \in {\mathcal H}^n$ з $\|x\| = 1$ та $\|R x\| = \|R\|$, тоді \[ \langle R x, (A \otimes I) x \rangle = 0 \] для всіх $A \in M_n(\mathcal C)$.