Неявне лінійне різницеве рівняння першого порядку над скінченними комутативними кільцями з одиницею
Анотація
У статті досліджується неявне лінійне різницеве рівняння першого порядку $BX_{n+1}=AX_n+F_n,\quad n=0,1,2,\ldots$ над скінченним комутативним кільцем $R$ з одиницею, тобто рівняння з необоротним елементом $B$ кільця $R$. На відміну від класичного (явного) лінійного різницевого рівняння, неявне лінійне різницеве рівняння над скінченним кільцем $R$ може не мати розв'язків, а також може мати нескінченну кількість розв'язків. Оскільки будь-яке скінченне комутативне кільце з одиницею ізоморфне скінченній прямій сумі локальних комутативних кілець з одиницею, то рівняння розпадається на систему рівнянь над локальними скінченними комутативними кільцями з одиницею. Показано, що умова співпадіння з $R$ ідеалу $(A,B)$, який породжено елементами $A,B\in R$, є необхідною і достатньою для існування скінченного числа розв'язків цього рівняння, підраховано кількість розв’язків в разі їх існування та надано формулу для загального розв’язку. Умова $(A,B)\ne R$ є необхідною і достатньою умовою існування нескінченного числа розв'язків відповідного однорідного рівняння $BX_{n+1}=AX_n,\quad n=0,1,2,\ldots$. Також встановлено, що у випадку $(A,B)\ne R$ умова $F_n\in (A,B),\quad n=0,1,2,\ldots$ є необхідною для розв'язності неоднорідного неявного лінійного різницевого рівняння, але не є достатньою, як показують приклади. При додатковому обмеженні, що $(A,B)$ є власним головним ідеалом кільця $R$, ця умова буде також достатньою умовою для існування розв'язку розглянутого неоднорідного рівняння, в цій ситуації рівняння має нескінченно багато розв’язків. За умови, що $(A,B)$ є головним ідеалом, спочатку доводиться критерій існування розв’язку у випадку локального комутативного скінченного кільця з одиницею, а потім у випадку довільного скінченного комутативного кільця з одиницею. Як і в теорії Фредгольма, показано наступне: якщо відповідне однорідне рівняння має тільки тривіальний розв'язок, то досліджуване неоднорідне рівняння має єдиний розв'язок. На конкретних прикладах продемонстровано роботу доведених теорем.
Завантаження
Посилання
S.L. Campbell. Singular system of differential equations I. 1980, V. 40. San Francisco, London, Mellbourne: Pitman Publishing, Research Notes in Mathematics.
M.F. Bondarenko, A.G. Rutkas. On a class of implicit difference equations, Dopovidi NANU of Ukraine, — 1998. — No. 7, — P. 11–15.
M. F. Bondarenko, L. A. Vlasenko, A. G. Rutkas. Discrete Optimal Control of Descriptor Systems with Variable Parameters. Journal of Automation and Information Sciences, — 2011. — V. 43. — No. 5. — P. 1–9. DOI: https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v43.i5.10
M. Kostić. Almost Periodic Type Solutions, 2025. Berlin, Boston, Walter de Gruyter, Studies in Mathematics, V. 101. DOI: https://doi.org/10.1515/9783111689746-201
S.L. Gefter, A.L. Piven. Implicit Linear Nonhomogeneous Difference Equation in Banach and Locally Convex Spaces. J. Math. Physics, Analysis, Geometry, — 2019. — V. 15. — No. 3. — P. 336–353. DOI: https://doi.org/10.15407/mag15.03.336
V.V. Martseniuk, S.L. Gefter, A.L. Piven’. Uniqueness Criterion and Cramer’s Rule for Implicit Higher Order Linear Difference Equations Over $mathbb{Z}$, Progress on Difference Equations and Discrete Dynamical Systems (eds. S. Baigent, M. Bohner, S. Elaydi), Springer, — 2020. — V. 341. — P. 311–325. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-60107-2_16
S.L. Gefter, A.L. Piven’. Implicit Linear Nonhomogeneous Difference Equation over $mathbb{Z}$ with a Random Right-Hand Side, J. Math. Physics, Analysis, Geometry, — 2022. — V. 18. — No. 1. — P. 105–117. DOI: https://doi.org/10.15407/mag18.01.105
A.B. Goncharuk. Implicit linear difference equations over a non-Archimedean ring. Visnyk of V.N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics, — 2021. — V. 93. — P. 18–33. DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2021-93-03
S. Gefter, A. Goncharuk, A. Piven’. Implicit Linear First Order Difference Equations Over Commutative Rings. In: Elaydi, S., Kulenovic, M.R.S., Kalabusic, S. (eds) Advances in Discrete Dynamical Systems, Difference Equations and Applications. ICDEA 2021. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, — 2023. — V. 416. — P. 199–216. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-25225-9_10
V.A. Gerasimov, S.L. Gefter, A.B. Goncharuk. Application of the $p$-adic Topology on $mathbb{Z}$ to the Problem of Finding Solutions in Integers of an Implicit Linear Difference Equation, J. Math. Sci., — 2018. — V. 235. — No. 3. — P. 256–261. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-018-4072-x
M.V. Heneralov, A.L. Piven’. Implicit linear difference equation over residue class rings, Algebra and Discrete Mathematics, — 2024. — V. 37. — No. 1. — P. 85–105. DOI: http://dx.doi.org/10.12958/adm2110
M.V. Heneralov. Implicit linear difference equations over finite commutative rings of order $p^2$ with identity, Visnyk of V.N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics, — 2025. V. 101. — P. 21–30 (in Ukrainian). DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2025-101-02
B.R. Macdonald. Finite commutative rings with identity. New York: M. Dekker, Inc., — 1974.
S. Alabiad, Y. Alkhamees. On classification of finite commutative chain rings, AIMS Mathematics, — 2021. — V. 7. — No. 2. — P. 1742–1757. DOI: https://doi.org/10.3934/math.2022100
A. Nowicki. Tables of finite commutative local rings of small orders, 2018. UMK, Torun. Available at: https://www.researchgate.net/publication/328319576
M. Axtell, J. Stickles, W. Trampbach. Zero-divisor ideals and realizable zero-divisor graphs, Involve, — 2009, — V. 2, — No. 1, P. 17–27. DOI: https://doi.org/10.2140/involve.2009.2.17
S. Elaydi. An Introduction to Difference Equations. New York: Springer, — 2005. DOI: https://doi.org/10.1007/0-387-27602-5
D.S. Dummit, R.M. Foote. Abstract algebra. Third edition. John Wiley & Sons, Inc., — 2004. ISBN: 978-0-471-43334-7
O. Zariski, P. Samuel. Commutative algebra. D. van Nostrand, Princeton, — 1958. — V. 1. DOI: https://doi.org/10.2307/3611016
Авторське право (c) 2026 Mykola Heneralov, Aleksey Piven’
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. Creative Commons Attribution License International CC-BY (CC BY 4.0).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
