Формальнi степеневi ряди для диференцiального рiвняння ay'=by^m над областями Дедекiнда нульової характеристики

Анотація

У роботі досліджено задачу Коші ay′ = byᵐ, y(0) = c₀, у кільці формальних степеневих рядів D[[x]], де D є областю Дедекінда нульової характеристики, K є її полем часток, a, b, c₀ ∈ D, a, b ≠ 0, m ∈ ℕ. Встановлюються точні умови, за яких єдиний формальний розв’язок y ∈ K[[x]] із початковим значенням c₀ насправді має всі коефіцієнти в D, тобто належить D[[x]]. Для цього спершу в K[[x]] виводиться рекурентне співвідношення для коефіцієнтів розв’язку і одержується явна формула для них. Це зводить задачу існування розв’язку в D[[x]] до арифметичної задачі про цілість коефіцієнтів, яку природно формулювати мовою нормувань, пов’язаних з ненульовими простими ідеалами області D. Основна ідея полягає в тому, що для областей Дедекінда перешкода спуску з K[[x]] до D[[x]] визначається не звичайною подільністю на прості елементи, а порівнянням нормувань дробових ідеалів після локалізації за простими ідеалами.

У лінійному випадку m = 1 нульове початкове значення завжди дає нульовий розв’язок. Для c₀ ≠ 0 у формулах для коефіцієнтів з’являються факторіальні знаменники, що створює глобальну перешкоду, якщо в D не є оборотними нескінченно багато раціональних простих чисел. Якщо ж таких простих лише скінченна кількість, то точний критерій існування для ненульового початкового значення має вигляд (b) ⊆ (a)r₁, де r₁ є явно побудованим коригувальним ідеалом, що залежить від простих ідеалів над відповідними раціональними простими. У нелінійному випадку m ≥ 2, поклавши d = m − 1, дістаємо вираз для коефіцієнтів через добуток Cₖ(d) = ∏(di + 1), де i пробігає значення від 0 до k − 1. Доведено, що прості ідеали над раціональними простими, які не ділять d, не створюють додаткових перешкод, крім базової умови (bc₀ᵈ) ⊆ (a), тоді як прості ідеали над простими, що ділять d, задають коригувальний ідеал r(d). У результаті точний критерій існування набуває вигляду (bc₀ᵈ) ⊆ (a)r(d). Зокрема, для m = 2 маємо r(1) = D, і умова спрощується до (bc₀) ⊆ (a). Наведено приклади для кілець ℤ, локалізацій кільця ℤ, кільця цілих гаусових чисел та дедекіндової області ℤ[√−5], яка не є факторіальним кільцем, що демонструють роботу одержаного критерію в різних арифметичних ситуаціях.