Про стійкість за Гурвіцем матричних поліномів типу Гурвіца
Анотація
Дійсний скалярний поліном, корені якого лежать у лівій півплощині комплексної площини, називається поліномом Гурвіца. Це поняття походить з робіт Дж. К. Максвелла, Е. Дж. Раута та А. Гурвіца, і пізніше вивчалося за допомогою таких методів, як послідовності Штурма, параметри Маркова, та ланцюгові дроби; див., наприклад, \emph{Теорія матриць}, Том II, Розділ XV, AMS Chelsea (2000), Ф. Гантмахера. Матричний поліном $P(z)$ розміру $q\times q$ називається Гурвіцевим якщо $\det P(z)$ є Гурвіцевим поліномом. Кожен матричний поліном $\fop_n$ може бути представлений у формі $\fop_n(z)=\hop_n(z^2)+z\,\gop_n(z^2)$. Матричний поліном $\fop_{2m}$ називається поліномом типу Гурвіца якщо вираз $\gop_{2m}(z)\hop_{2m}^{-1}(z)$ допускає представлення у вигляді скінченного ланцюгового дробу з додатно визначеними матричними коефіцієнтами. Аналогічно, матричний поліном непарного степеня $\fop_{2m+1}$ є поліномом типу Гурвіца якщо $\frac{1}{z}\hop_{2m+1}(z)\gop_{2m+1}^{-1}(z)$ має таку ж саму властивість. Поняття матричних поліномів типу Гурвіца було введено в \emph{Про матричні поліноми типу Гурвіца та їх взаємозв'язки з додатно визначеними послідовностями Стілтьєса та ортогональними матричними поліномами}, Linear Algebra Appl. 476 (2015), автором А. Е. Чоке-Ріверо. У цій роботі ми виводимо явну форму Безутіана, пов'язаного з матричними поліномами типу Гурвіца. Той факт, що матричні поліноми типу Гурвіца є матричними поліномами Гурвіца, був запропонований та частково доведений з використанням Безутіанів у \emph{Про узагальнення класичних критеріїв стійкості Гурвіца для матричних поліномів}, J. Comput. Appl. Math. 383 (2021), авторами X. Жаном та А. Дьяченком. На відміну від цієї роботи, ми використовуємо розкладання форми Безутіана, введене в \emph{Деякі питання теорії моментів}, Переклади математичних монографій~2, AMS, 1962, авторами Н.~І.~Ахієзер та М.~Г.~Крейн, для скалярних поліномів. Крім того, ми пропонуємо метод розширення класу матричних поліномів типу Гурвіца шляхом додавання до заданого полінома матричного полінома, який не є поліномом типу Гурвіца, але при цьому отриманий поліном стає типу Гурвіца.Завантаження
Посилання
N. I. Aheizer, M. G. Krein, Some Questions in the Theory of Moments. Translations of Mathematical Monographs, 2, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1962, 265 pp. DOI: https://doi.org/10.1090/mmono/002
B. D. O. Anderson, E. I. Jury, Generalized Bezoutin and Sylvester matrices in multivariable linear control, IEEE Trans. Autom. Control. – 1976. – Vol. AC-21. – P. 551–556. DOI: https://doi.org/10.1109/TAC.1976.1101263
C. Biehler, Sur une classe d´equations alg´ebriques dont toutes les racines sont r´eelles, J. Reine Angew. Math. (Crelle’s Journal) – 1879. – Vol. 87. – P. 350– 352. DOI: https://doi.org/10.1515/9783112341889-020
D. Cox, J. Little, and D. O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, 4th ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Cham. – 2015. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-91841-4
A.E. Choque Rivero, On Dyukarev’s resolvent matrix for a truncated Stieltjes matrix moment problem under the view of orthogonal matrix polynomials, Linear Algebra Appl. – 2015. – Vol. 474. – P. 44–109. DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2015.01.027
A.E. Choque Rivero, On matrix Hurwitz type polynomials and their interrelations to Stieltjes positive definite sequences and orthogonal matrix polynomials, Linear Algebra Appl. – 2015. Vol. 476. – P. 56–84. DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2015.03.001
A.E. Choque-Rivero, The Kharitonov theorem and robust stabilization via orthogonal polynomials, Visnyk of V. N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics. – 2017. Vol. 86. – P. 49–68. DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2017-86-05
A.E. Choque Rivero, Hurwitz polynomials and orthogonal polynomials generated by Routh–Markov parameters, Mediterr. J. Math. – 2018. Vol. 15, No 40. – 15 pages. DOI: https://doi.org/10.1007/s00009-018-1083-2
A.E. Choque Rivero, Extended set of solutions of a bounded finite-time stabilization problem via the controllability function, IMA J. Math. Control Inf. – 2021. Vol. 38, No 4. – P. 1174–1188. DOI: https://doi.org/10.1093/imamci/dnab028
A.E. Choque Rivero, Comments on the paper “On the relation between Hurwitz stability of matrix polynomials and matrix-valued Stieltjes functions,"J. Comput. Appl. Math. 417 (2023) by Xuzhou Zhan and Yongjian Hu, submitted to J. Comput. Appl. Math., 2023. Available at: https://drive.google.com/file/d/1qE3xsF37K9HN2lrMQ9eW92pH9LEk_6Te/view?usp=sharing
A.E. Choque Rivero, Korobov’s controllability function as motion time: Extension of the solution set of the synthesis problem, Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom. – 2023. Vol. 19, No 3. – P. 556–586. DOI: https://doi.org/10.15407/mag19.03.556
A.E. Choque-Rivero, I. Area, Favard type theorem for Hurwitz polynomials, Discrete & Continuous Dynamical Systems–B. – 2020. Vol. 22, No 2. – P. 529– 544. DOI: https://doi.org/10.3934/dcdsb.2019252
A.E. Choque Rivero, V.I. Korobov, V.O. Skoryk, Controllability function as time of motion. I, Mat. Fiz. Anal. Geom. – 2004. Vol. 2, No 11. – P. 208–225. (in Russian) Translated into English in http://arxiv.org/abs/1509.05127.
A.E. Choque Rivero, V.I. Korobov, V.O. Skoryk, Controllability function as time of motion. II, Mat. Fiz. Anal. Geom. – 2004. Vol. 3, No 11. – P. 341–354.
A.E. Choque Rivero, C. Maedler, On resolvent matrix, Dyukarev– Stieltjes parameters and orthogonal matrix polynomials via [0,+∞)–Stieltjes transformed sequences, Complex Anal. Oper. Theory. – 2019. Vol. 13. – P. 1–44. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-017-0655-7
B.N. Datta, Application of Hankel matrices to Markov parameters to the solution of the Routh–Hurwitz and the Schur–Cohn problems, J. Math. Anal. Appl. – 19179. Vol. 68, No 1. – P. 276–290. DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247x(79)90115-x
J.E. Dennis, J.F. Traub and R.P.Weber, On the Matrix Polynomial, Lambda- Matrix and Block Eigenvalue Problems, Computer Science Department Tech. rep., Cornell Univ., Ithaca, N.Y., and Carnegie-Mellon Univ., Pittsburgh, Pa. – 1971. https://hdl.handle.net/1813/5954
Y.M. Dyukarev, A general scheme for solving interpolation problems in the Stieltjes class that is based on consistent representations of pairs of nonnegative operators. I. Mat. Fiz. Anal. Geom. – 1999. Vol 6, No 1–2. – P. 30–54. https://mag.ilt.kharkiv.ua/index.php/mag/article/view/m06-0030r
Y.M. Dyukarev, Indeterminacy criteria for the Stieltjes matrix moment problem, Math Notes. – 2004. Vol 75. – P. 66–82. DOI: https://doi.org/10.1023/B:MATN.0000015022.02925.bd
Y.M. Dyukarev, Theory of Interpolation Problems in the Stieltjes Class and Related Problems of Analysis, Habilitation thesis. Kharkiv National University – 2006.
Y.M. Dyukarev, The zeros of determinants of matrix–valued polynomials that are orthonormal on a semi–infinite or finite interval, Sbornik: Mathematics. – 2018. Vol. 209, No 12. – P. 1745–1755.
Y.M. Dyukarev, B. Fritzsche, B. Kirstein, C. M¨adler, On truncated matricial Stieltjes type moment problems. Complex Anal. Oper. Theory. – 2010. Vol. 4. – P. 905–951. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-009-0002-8
Y.M. Dyukarev, B. Fritzsche, B. Kirstein, C. M¨adler, H. Thiele, On distinguished solutions of truncated matricial Hamburger moment problems. Complex Anal. Oper. Theory. – 2009. Vol 3, No 759. – P. 759–834. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-008-0061-2
B. Fritzsche, B. Kirstein, and Conrad M'adler, On Hankel nonnegative definite sequences, the canonical Hankel parametrization, and orthogonal matrix polynomials, Complex Anal. Oper. Theory. – 2011. Vol. 5, No 2. – P. 447–511. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-010-0054-9
B. Fritzsche, B. Kirstein, and C. Madler, On a special parametrization of matricial alpha–Stieltjes one-sided non-negative definite sequences. Interpolation, Schur functions and moment problems. II. Oper. Theory Adv. Appl. – 2012. Vol 226. – P. 211–250. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0428-8_5
B. Fritzsche, B. Kirstein, and Conrad M'adler, Transformations of matricial alpha–Stieltjes non–negative definitive sequences, Linear Algebra Appl. – 2013. Vol. 439, No 12. – P. 3893–3933. DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2013.10.002
P. A. Fuhrmann, B. N. Datta, On Bezoutians, Van der Monde matrices and the Lienard–Chipart stability criterion, Linear Algebra Appl. – 1989. Vol. 120. – P. 23–37. DOI: https://doi.org/10.1016/0024-3795(89)90367-4
F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Volume I, AMS Chelsea. – 2000.
F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Volume II, AMS Chelsea. – 2000.
G. Heinig, U. Jungnickel, On the Routh-Hurwitz and Shur-Cohn problems for matrix polynomials and generalized Bezoutians, Math. Nach. – 1984. Vol. 116, No 1. – P. 185–196. DOI: https://doi.org/10.1002/mana.19841160114
D. Henrion, D. Arzelier, D. Peaucelle, M. Sebek, An LMI condition for robust stability of polynomial matrix polytopes, Automatica. – 2001. Vol. 37, No 3. – P. 461–468. DOI: https://doi.org/10.1016/S0005-1098(00)00170-9
C. Hermite, Extrait d’une lettre de. M. Hermite de Paris `a M. Borchardt de Berlin sur le nombre des racines d’une ?equation alg?ebrique comprises entre des limites donn?ees, J. Reine Angew. Math. – 1856. Vol. 1856, No 52. – P. 39–51. DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1856.52.39
O. Holtz, M. Tyaglov, Structured matrices, continued fractions, and root localization of polynomials. SIAM Rev. – 2012. Vol. 54, No 3. – P. 421–509. DOI: https://doi.org/10.1137/090781127
A. Hurwitz, ?Uber die Bedingungen unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt Math. Ann. – 1895. Vol. 46. – P. 273–284. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01446812
E.J. Jury, A. Katbab, A note on Kharitonov–type results in the space of Markov parameters, IEEE Trans. Autom. Control. – 1989. Vol. 37, No 1. – P. 155–158. DOI: https://doi.org/10.1109/9.109655
V. Katsnelson, Stieltjes functions and Hurwitz stable entire functions, Complex Anal. Oper. Theory. – 2011. Vol. 5. – P. 611–630. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-011-0146-1
F.J. Kraus, M. Mansour and M. Sebek, Hurwitz matrix for polynomial matrices, In: Jeltsch, R., Mansour, M. (eds) Stability Theory. ISNM International Series of Numerical Mathematics, Birkh?auser Basel. – 1996. Vol. 121. – P. 67– 74. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9208-7_8
M.G. Krein, M.A. Naimark, The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of the separation of the roots of algebraic equations, Linear and Multilinear Algebra. – 1981. Vol. 10, No 4. – P. 265-308. DOI: https://doi.org/10.1080/03081088108817420
P. Lancaster, Lambda-Matrices and Vibrating Systems, Pergamon Press, New York. – 1966. DOI: https://doi.org/10.1016/C2013-0-01959-7
P. Lancaster and M. Tismenetsky, The Theory of Matrices: With Applications, Second Edition, Academic Press. – 1985.
L. Lerer, M. Tismenetsky, The Bezoutian and the eigenvalue-separation problem for matrix polynomials, Integral Equations Oper. Theory. – 1982. Vol. 5. – P. 386–445. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01694045
L. Lerer, L. Rodman, M. Tismenetsky, Inertia theorems for matrix polynomials, Linear and Multilinear Algebra. – 1991. Vol. 30, No 3. P. 157–182. DOI: https://doi.org/10.1080/03081089108818100
C. MacDuffee, The Theory of Matrices, Chelsea, New Your. – 1946.
F. Martins, E. Pereira, Block matrices and stability theory, Tatra Mt. Math. Publ. – 2007. Vol. 38. – P. 147–162.
D.V. Ouellette, Schur complements and statistics, Linear Algebra Appl. – 1981. Vol. 36. – P. 187–295. DOI: https://doi.org/10.1016/0024-3795(81)90232-9
P. Resende and E. Kaszkurewicz, New stability conditions for matrix polynomials using a block-bidiagonal form, IEEE International Symposium on Circuits and Systems, Espoo, Finland. – 1988. Vol. 1. – P. 385–388. DOI: https://doi.org/10.1109/iscas.1988.14945
E. J. Routh, A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion. Macmillan and Co. – 1877.
L. Shieh, S. Sacheti, A matrix in the block Schwarz form and the stability of matrix polynomials, Int. J. Control. – 1978. Vol. 27, No 2. – P. 245–259. DOI: https://doi.org/10.1080/00207177808922362
X. Zhan, A. Dyachenko, On generalization of classical Hurwitz stability criteria for matrix polynomials, J. Comput. Appl. Math. – 2021. Vol. 383. – P. 1–16. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.113113
Авторське право (c) 2026 Abdon Choque
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. Creative Commons Attribution License International CC-BY (CC BY 4.0).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
