Коректні крайові задачі з інтегральною умовою в напівпросторі для рівнянь у частинних похідних.

Анотація

Як відомо, задача Коші некоректна для диференціальних рівнянь у частинних похідних зі сталими коефіцієнтами, які не є коректними за Петровським. У цій роботі пропонується інтегральна умова, в якій отримана крайова задача стає коректною в просторі Л. Шварца, а також у просторах функцій степеневого зростання за просторовими змінними. Наведена інтегральна умова є інтегралом по півосі з експоненційною вагою, що забезпечує збіжність даного інтеграла.   Якщо розглядати цей інтеграл як перетворення Лапласа від функції $\exp\left(-t^2/2\right)$, то можна отримати його асимптотику, яка дозволяє оцінити \textbf{розв'язувальну функцію}. Дана оцінка дозволяє довести теорему про коректність отриманої крайової задачі в просторі Л. Шварца, а також у шкалі функцій кінцевої гладкості степеневого зростання. Потім розглядається задача для неоднорідного диференціального рівняння, у якого права частина за просторовими змінними належить простору Л. Шварца, а за часовою змінною --- фінітна. Для отриманої задачі знаходиться функція Гріна, що оцінюється зверху. За допомогою цієї оцінки доводиться теорема про коректність даної задачі в просторі Л. Шварца й у спряженому просторі. Наведено приклади некоректних за Петровським рівнянь та вказано конкретні інтегральні умови, за яких одержувані задачі будуть коректними в просторі Л.Шварца. Розглянемо рівняння $$\displaystyle\frac{\partial u(x_1,x_2,t)}{\partial t}=\displaystyle\frac{\partial^2 u(x_1,x_2,t)}{\partial x_1^2}-\displaystyle\frac{\partial^2 u(x_1,x_2,t)}{\partial x_2^2}.$$ Для даного рівняння не виконані умови за Петровським, оскільки поліном $P(s_1,s_2)=-s_1^2+s_2^2$ необмежений. Але якщо додати умову $$\int\limits_0^{\infty} \exp\left(-\displaystyle\frac{t^2}{2}\right) u(x_1,x_2,t)dt=\varphi(x_1,x_2),$$ то така задача буде коректною в просторі Л. Шварца, а також у шкалі банахових просторів.