Оператор Якобі та стійкість вертикальних мінімальних поверхонь у субрімановій групі Лі SL(2,R)

Анотація

Ми розглядаємо орієнтовані занурені мінімальні поверхні у тривимірних субріманових многовидах, які є вертикальними, тобто перпендикулярними до двовимірного горизонтального розподілу субріманової структури. Раніше ми показали, що вертикальна поверхня є мінімальною в субрімановому сенсі тоді й тільки тоді, коли вона мінімальна в рімановому сенсі, і що з її субріманової стійкості випливає її ріманова стійкість. Ми вводимо субріманову версію оператора Якобі для таких поверхонь і доводимо достатню умову стійкості вертикальних мінімальних поверхонь, що аналогічна до теореми Фішер-Колбрі та Шоена: якщо поверхня допускає додатну функцію з нульовим оператором Якобі, то вона є стійкою.

Далі ми використовуємо техніку операторів Якобі для дослідження вертикальних мінімальних поверхонь у групі Лі $\widetilde{\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})}$, яку можна описати як універсальне накриття розшарування одиничних дотичних векторів гіперболічної площини зі стандартною лівоінваріантною метрикою Сасакі (що відповідає одній з геометрій Терстона) та з двома різними типами субріманових структур. Спочатку ми розглядаємо сім'ю нелівоінваріантних структур, визначених деякими параметрами, знаходимо значення параметрів, для яких існують вертикальні мінімальні поверхні, та описуємо такі повні зв'язні поверхні. Це евклідові напівплощини та циліндри, й усі вони є стійкими в субрімановому сенсі, а отже і в рімановому сенсі. Зокрема, це дає нам приклади структур, що не допускають вертикальних мінімальних поверхонь. Потім ми описуємо повні зв'язні вертикальні мінімальні поверхні для іншої субріманової структури, що є лівоінваріантною. Це напівплощини та гелікоїдальні поверхні, які також виявляються стійкими в субрімановому сенсі, а отже й у рімановому сенсі.