Замкненi вiдношення еквiвалентностi на компактних просторах i пари комутативних C*-алгебр: категорний пiдхiд

Анотація

У цій статті ми досліджуємо категоріальне узагальнення класичної дуальності Гельфанда–Наймарка між компактними хаусдорфовими просторами та комутативними унітальними C*-алгебрами. Ми встановлюємо еквівалентність між категорією компактних хаусдорфових просторів із замкненими відношеннями еквівалентності та категорією пар, що складаються з комутативної унітальної C*-алгебри та однієї з її унітальних C*-підалгебр. Мотивація полягає в тому, що дуальність Гельфанда може бути збагачена додатковою структурою: замкнені відношення еквівалентності кодують фактор-простори та інваріантність з топологічного боку, тоді як підалгебри відображають обмеження та симетрії з алгебраїчного боку. Теорема Шилова, яка ототожнює замкнені самоспряжені підалгебри з одиницею C(X) з алгебрами функцій, інваріантних відносно замкнених відношень еквівалентності, забезпечує ключовий зв’язок між цими підходами. Ми вводимо категорію EqRel, об’єктами якої є компактні хаусдорфові простори із замкненими відношеннями еквівалентності, а морфізмами — неперервні відображення, що зберігають траєкторії, та категорію C*Pairs, об’єктами якої є пари (A,B), де A — комутативна C*-алгебра з одиницею, а B ⊂ A — C*-підалгебра з одиницею, причому морфізмами є *-гомоморфізми, що зберігають B. У обох напрямах визначаються контраваріантні функтори: (X,R) → (C(X),B_R), де B_R складається з функцій, сталих на R-класах, і (A,B) → (Σ(A),R_B), де Σ(A) — спектр, а R_B пов’язує характери, що збігаються на B. Використовуючи теорему Колмогорова–Гельфанда, перетворення Гельфанда та теорему Шилова, ми показуємо, що ці функтори є взаємно оберненими з точністю до ізоморфізму функторів, і тим самим доводимо, що  EqRel ≃ C*Pairsop . 

Цей результат показує, що геометричне поняття замкнених відношень еквівалентності на компактних просторах перебуває в повній відповідності з алгебраїчним поняттям унітальних підалгебр комутативних C*-алгебр.