Про диференціювання відносно фільтрів

Анотація

У статті розглянуто узагальнення поняття похідної функції однієї дійсної змінної на основі теорії фільтрів. Запропоновано нову конструкцію, що дозволяє визначити похідну функції відносно фільтра, який відображає спосіб зближення змінної до заданої точки. На відміну від класичного означення, де границя визначається через прямолінійне зближення аргументу, нове означення дозволяє враховувати ширший спектр підходів до точки, що забезпечує гнучкіший апарат для аналізу локальної поведінки функцій. Введене поняття охоплює класичне означення похідної як частковий випадок при виборі відповідного фільтра. Наведено доведення узагальнення базових властивостей похідної: лінійності, правила добутку, частки, складеної функції. Зокрема, продемонстровано, що похідна відносно фільтра задовольняє ті самі формальні правила диференціювання, що й класична похідна, при збереженні суттєвої гнучкості у виборі характеру зближення аргументу. Отримані результати дозволяють розширити сферу застосування диференціального числення до випадків, де класичний підхід або не є застосовним, або втрачає точність чи інтерпретаційну зручність. Показано, що у деяких ситуаціях похідна за фільтром краще відображає реальні процеси зміни величин, наприклад у задачах з асиметричними або обмеженими околами точки. Запропонований підхід відкриває нові перспективи для застосування в теорії узагальнених функцій, теорії міри та функціональному аналізі. Також у статті наведено приклади застосування нового поняття та здійснено порівняльний аналіз з класичною теорією. Представлений матеріал може бути корисним для дослідників, що працюють у галузі математичного аналізу, а також для викладачів, які прагнуть розширити традиційний підхід до диференціювання. Робота має як теоретичну, так і методологічну цінність, оскільки вводить новий інструмент для подальших досліджень у галузі сучасної математичної теорії границь.