Згортка ймовірностей, сталих на підгрупі та поза підгрупою

Анотація

Нехай $P$ - ймовірність на скінченній групі $G$, тобто функція $P\left(g\right)$ приймає невід'ємні значення і $\sum _{g}P\left(g\right) =1$ $\left(g\in G\right)$. Для будь-яких двох функцій $F_{1} \left(g\right)$ і $F_{2} \left(g\right)$ на $G$ їх згортка
\[\left(F_{1} *F\right)_{2} \left(t\right)=\sum _{h\in G}F_{1} \left(h\right)F_{2} \left(h^{-1} t\right), t\in G\]
також є функцією на $G$.

За останні роки тематика дослідження випадкових блукань (і не тільки на групах) стала дуже популярною. З аналітичної точки зору, дослідження випадкових блукань є лише вивченням їх функції переходу, тобто n-кратної згортки ймовірнісних мір. Добре відомо, що за нескладних умов, накладених на носій ймовірності $P$ на групі $G$, $n$-кратна згортка $P^{(n)} =P*...*P$ ($n$ разів) при $n\to \infty$ збігається до рівномірної ймовірності $U\left(g\right)=\frac{1}{\left|G\right|}$ $(g\in G)$, яка, очевидно, є сталою на $G$.

Ми вивчаємо згортку функцій, які можуть бути різними, але сталими на деякій підгрупі або поза нею. Коротко кажучи, ми вивчаємо випадки, коли згортка таких функцій має ті ж властивості сталості відносно деякої підгрупи.

У статті розглядається згортка ймовірностей (і, взагалі, дійсних функцій), сталих поза (або всередині) підгрупи $H$ скінченної групи $G$. Нехай $D=G\backslash H$. Для даної функції $F$ на $G$ підгрупа $H$, для якої $F$ є сталою на $D$, є єдиною в наступному сенсі: існує щонайбільше одна таке число $c$ та одна найменша підгрупа $H$ групи $G$ такі, що $F\left(g\right)=c$ для усіх елементів $g\in D$.

Доведено, що якщо функції $F_{1}, \ldots, F_{n}$ є сталими на $D$, $F_{i} (x)=c_{i}$ для довільного $x\in D$ $(i=1, \ldots, n)$, то їхня згортка $F_{1} *\ldots *F_{n}$ також є сталою (константою) на $D$. Знайдено вираз для цієї константи через числа $c_{i},\; i=1,\ldots ,n$. Функції на групі $G$, які є сталими на $D$, утворюють півгрупу відносно згортки.

В попередніх твердженнях досліджується випадок, коли всі функції $F_{1} ,\ldots, F_{n}$, крім однієї, є сталими на підгрупі $H$, а ця одна є сталою на $D=G\backslash H$. За цих умов доведено, що згортка $F_{1} *\ldots *F_{n}$ є сталою на $H$.

У наведених твердженнях про згортку принаймні один її множник був сталим поза підгрупою. Але якщо усі множники є сталими на деякій підгрупі, то їхня згортка не обов'язково має ту ж властивість. Наведений приклад двох функцій, які є сталими на підгрупі $H$, але їхня згортка не є сталою на $H$.

Цей приклад викладений не мовою ймовірностей (чи функцій) на групі (як в усіх інших частинах статті), а мовою групових алгебр. Групова алгебра $KG$ групи $G$ над полем $K$ з'являється у питаннях, пов'язаних зі згортками функцій на групі $G$, наступним чином: кожна функція $F(g)$ на $G$ із значеннями у довільному полі $K$ визначає елемент $\sum _{g}F(g)g$ $(g\in G)$ алгебри $KG$; згортці ймовірностей відповідає добуток елементів алгебри $KG$. Якщо функція $F(g)$ є ймовірністю, то $K$ є полем дійсних чисел.