Метод функції керованості Коробова за допомогою ортогональних поліномів на [0,∞)
Анотація
Дано керовану систему, описану звичайними диференціальними рівняннями або диференціальними рівняннями із частинними похідними, та початковий стан. Задача знаходження множини обмежених позиційних керувань, які переводять початковий стан у деякий інший стан (не обов'язково точку рівноваги) за скінченний час, називається задачею синтезу. У даній роботі розглядається сімейство систем у формі Бруновського розмірності $n$. Для стабілізації заданої системи у формі Бруновського за скінченний час побудовано сімейство обмежених позиційних керувань $u_n(x)$. Ми використовуємо ортогональні поліноми, що асоційовані з функціональним розподілом $\sigma(\tau,\theta)$, визначеним для $\tau\in[0,+\infty)$ і параметра $\theta>0$. Параметр $\theta$ інтерпретується як функція керованості Коробова, $\theta=\theta(x)$, яка слугує функцією типу Ляпунова. Використовуючи $\theta(x)$, ми будуємо позиційне керування: $u_n(x) =u_n(x,\theta(x))$.Наш аналіз базується на фундаментальній роботі: ''A general approach to the solution of the bounded control synthesis problem in a controllability problem'', Matematicheskii Sbornik, 151(4), 582-606 (1979) авторства В. І. Коробова, у якій було запропоновано метод функції керованості. Цей метод було застосовано для розв'язання задач стабілізації обмеженим керуванням за скінченний час у різних сценаріях керування, таких як керування хвильовим рівнянням, оптимальне керування зі змішаними критерієм якості та інші застосування. Для побудови згаданих позиційних керувань ми використовуємо члени сімейства ортогональних на $[0, \infty)$ поліномів. Детальнішу інформацію про ортогональні поліноми можна знайти у книзі: ``Orthogonal Polynomials'', American Mathematical Society, Providence, (1975) авторства G. Szeg\"{o}. Ми також спираємося на роботу: ``On matrix Hurwitz type polynomials and their interrelations to Stieltjes positive definite sequences and orthogonal matrix polynomials'', Linear Algebra and its Applications, 476, 56-84 (2015) авторства А. Е. Choque Rivero. Результати, представлені у цій роботі, розширюють і розвивають напрацювання, викладені у конференційній доповіді: ``Bounded finite-time stabilizing controls via orthogonal polynomials'', 2018 IEEE International Autumn Meeting on Power, Electronics and Computing (ROPEC), Ixtapa, Mexico, 2018, авторства А. Е. Choque Rivero, B. d. J. G. Orozco.Завантаження
Посилання
E. D. Sontag. Mathematical control theory: Deterministic finite dimensional systems, Springer New York, NY. - 1998. - ISBN: 978-0-387-98489-6.
G. G. Rigatos. Nonlinear control and filtering using differential flatness approaches: Applications to electromechanical systems, Springer Cham. - 2015. - ISBN:~978-3-319-16419-9.
T. S. Chihara. An introduction to orthogonal polynomials, Gordon and Breach, Science Publishers, Inc. - 1978. - ISBN:~0677041500
G. Szego. Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, Providence. - 1975. - ISBN:~0821810235.
V. I. Korobov, V. O. Skoryk. Construction of restricted controls for a nonequilibrium point in global sense, Vietnam Journal of Mathematics. – 2015. – Vol. 43, No 2 – P. 459–469. DOI: https://doi.org/10.1007/s10013-015-0132-4
A. E. Choque Rivero. On the solution set of the admissible bounded control problem via orthogonal polynomials, IEEE Transactions on Automatic Control. – 2017 – Vol. 62, No 10 – P. 5213–5219. DOI: https://doi.org/10.1109/TAC.2016.2633820
A. E. Choque-Rivero, B. d. J. G. Orozco. Bounded finite-time stabilizing controls via orthogonal polynomials.2018 IEEE International Autumn Meeting on Power, Electronics and Computing (ROPEC), Ixtapa, Mexico. – 2018 – P. 1–4. DOI: https://doi.org/10.1109/ROPEC.2018.8661456
A. E. Choque Rivero. On Dyukarev’s resolvent matrix for a truncated Stieltjes matrix moment problem under the view of orthogonal matrix polynomials, Linear Algebra and its Applications. – 2015. – Vol. 474. – P. 44–109. DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2015.01.027
A. E. Choque Rivero. On matrix Hurwitz type polynomials and their interrelations to Stieltjes positive definite sequences and orthogonal matrix polynomials, Linear Algebra and its Applications. – 2015. – Vol. 476. – P. 44–84. DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2015.03.001
Yu. M. Dyukarev. Theory of Interpolation Problems in the Stieltjes Class and Related Problems of Analysis. - 2006. - Habilitation thesis, Kharkiv National University.
A. Sandryhaila, J. Kovacevic, M. Puschel. Algebraic signal processing theory: 1-D nearest neighbor models, IEEE Transactions on Signal Processing. – 2012. – Vol. 60, No. 5. – P. 2247–2259. DOI: https://doi.org/10.1109/TSP.2012.2186133
N. Stojanovic, N. Stamenkovic, D. Zivaljevic. Monotonic, critical monotonic, ˇand nearly monotonic low-pass filters designed by using the parity relation for Jacobi polynomials, International Journal of Circuit Theory and Applications. – 2017. – Vol. 45, No. 12. – P. 1978–1992. DOI: https://doi.org/10.1002/cta.2375
L. Lindstrom. Signal filtering using orthogonal polynomials and removal of edge effects, May 22 US Patent 7, 221, 975. – 2007.
G. Valent, W. Van Assche. The impact of Stieltjes’ work on continued fractions and orthogonal polynomials: additional material, Journal of Computational and Applied Mathematics. – 1995. – Vol. 65, No. 1-3. – P. 419-447. DOI: https://doi.org/10.1016/0377-0427(95)00128-X
V. I. Korobov. A general approach to the solution of the bounded control synthesis problem in a controllability problem, Matematicheskii Sbornik. – 1979. – Vol. 151, No. 4. – P. 582-606.
V. I. Korobov, Y. V. Korotyaeva. Feedback control design for systems with x-discontinuous rigt–hand side, J. Optim. Theory Appl. – 2011. – Vol. 149. – P. 494–512. DOI: https://doi.org/10.1007/s10957-011-9800-z
V. I. Korobov, T. V. Revina. On perturbation range in the feedback synthesis problem for a chain of integrators system, IMA J. Math. Control. Inf. – 2021.– Vol. 38. – P. 396–416. DOI: https://doi.org/10.1093/imamci/dnaa035
V. I. Korobov, K. Stiepanova. The peculiarity of solving the synthesis problem for linear systems to a non-equilibrium point, Mat. Fiz. Anal. Geom. – 2021. – Vol. 17, No 3 – P. 326–340. DOI: https://doi.org/10.15407/mag17.03.326
A. E. Choque-Rivero, G. A. Gonzalez, E. Cruz Mullisaca. Korobov's controllability function method applied to finite-time stabilization of the Rossler system via bounded controls, Visnyk of V. N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics. - 2020. - Vol. 91. - P. 4-20. DOI: http://dx.doi.org/10.26565/2221-5646-2020-91-01
A. E. Choque Rivero, J. J. Rico-Melgoza, F. Ornelas-Tellez. Finite-time stabilization of the prey-predator model, Memorias del Congreso Nacional de Control Autom'atico. - 2019. - P. 395-400. https://revistadigital.amca.mx/wp-content/uploads/2022/06/0152.pdf
V. I. Korobov. Controllability function method, (in Russian), NITS, Inst. Comp. Research, Moscow-Izhevsk: Izdanie RFFI – 2007.
A. E. Choque Rivero, V. I. Korobov, V. A. Skoryk. Controllability function as time of motion I. Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. – 2004. – Vol. 11, No. 2. – P. 208– 225. DOI: http://dx.doi.org/10.48550/arXiv.1509.05127
A. E. Choque Rivero, V. I. Korobov, V. A. Skoryk. Controllability function as time of motion II. Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry.– 2004 – Vol. 11, No 3 – P. 341– 354.
A. E. Choque Rivero. The controllability function method for the synthesis problem of a nonlinear control system, International Review of Automatic Control. – 2008 – Vol. 1, No 4 – P. 441–445.
W. M. Haddad, V. S. Chellaboina. Nonlinear Dynamical Systems and Control, Princeton University Press. - 2008. - ISBN: 9780691133294.
A. E. Choque Rivero. Extended set of solutions of a bounded finite-time stabilization problem via the controllability function, IMA J. Math. Control Inf. – 2021. – Vol. 38, No. 4. – P. 1174–1188. DOI: http://dx.doi.org/10.1093/imamci/dnab028
A. E. Choque Rivero. Korobov’s Controllability Function as Motion Time: Extension of the Solution Set of the Synthesis Problem, Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. – 2023. – Vol. 19, No 3. – P. 556-586. DOI: http://dx.doi.org/10.15407/mag19.03.556
A. E. Choque Rivero. Hurwitz polynomials and orthogonal polynomials generated by Routh–Markov parameters, Mediterranean Journal of Mathematics. – 2018. – Vol. 15, No 40 – P. 1-15. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s00009-018-1083-2
S. P. Bhat, D. S. Bernstein. Lyapunov analysis of finite-time differential equations, IEEE, American Control Conference. – 1995. – 3. – P. 1831–1832. DOI: http://dx.doi.org/10.1109/ACC.1995.531201
A. S. Poznyak, A. Ye. Polyakov, V. V. Strygin. Analysis of finite-time convergence by the method of Lyapunov functions in systems with second-order sliding modes, Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 2011. – Vol. 75, No. 3. – P. 289–303. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2011.07.006
V. I. Korobov, G. M. Sklyar. Methods for constructing of positional controls and an admissible maximum principle, Differ. Uravn. - 1990. - Vol. 26, No. 11. - P. 1914-1924.
V. I. Korobov, T. V. Revina. On the feedback synthesis for an autonomous linear system with perturbations. J. of Dynam. and Control Syst. - 2024. DOI: https://doi.org/10.1007/s10883-024-09690-4
A. E. Choque-Rivero. The matrix Toda equations for coefficients of a matrix three-term recurrence relation, Operators and Matrices. - 2019. - Vol. 13, No. 4. - P. 1125-1145. DOI: https://doi.org/10.7153/oam-2019-13-75
A. E. Choque-Rivero, I. Area. Favard type theorem for Hurwitz polynomials, Discrete and Continuous Dynamical Systems- B. - 2020. - Vol. 25, No. 2. - P. 529-544. DOI: https://doi.org/10.3934/dcdsb.2019252
Авторське право (c) 2024 Abdon Choque, Tatjana Vukasinac
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
