Однорідні апроксимації нелінійних керованих систем з виходом і слабка алгебраїчна еквівалентність

Анотація

У роботі ми розглядаємо нелінійні керовані системи, які є лінійними за керуванням, з виходом; векторні поля, що визначають систему, і вихід вважаються дійсно аналітичними. Слідуючи алгебраїчному підходу, ми розглядаємо ряди $S$ ітерованих інтегралів, що відповідають таким системам. Ітеровані інтеграли утворюють вільну асоціативну алгебру, і всі наші конструкції використовують її властивості. Спочатку ми розглядаємо множину всіх (формальних) функцій таких рядів $f(S)$ і визначаємо множину $N_S$ членів мінімального порядку для всіх таких функцій. Ми вводимо означення максимального градуйованого Лі-породженого лівого ідеалу ${\mathcal J}_S^{\rm max}$, який є ортогональним до множини $N_S$. Ми описуємо зв'язки між цим максимальним лівим ідеалом і лівим ідеалом ${\mathcal J}_S$, що породжений кореневою підалгеброю Лі системи, яка реалізує ряд. А саме, ми показуємо, що ${\mathcal J}_S\subset {\mathcal J}_S^{\rm max}$. Зокрема, з цього випливає, що градуйована підалгебра Лі, яка породжує лівий ідеал ${\mathcal J}_S^{\rm max}$, має скінченну ковимірність. Також ми даємо алгоритм, який приводить ряд $S$ до трикутної форми, і пропонуємо означення однорідної апроксимації ряду $S$. А саме, однорідною апроксимацією є однорідний ряд, компоненти якого -- доданки мінімального порядку в кожній компоненті цієї трикутної форми. Ми доводимо, що $N_S$ збігається з множиною тасуючих поліномів компонентів однорідної апроксимації. На відміну від випадку, коли вихід є тотожним, однорідна апроксимація не визначається повністю ідеалом ${\mathcal J}_S^{\rm max}$. Для того, щоб описати цю властивість, ми вводимо два різних означення еквівалентності рядів: алгебраїчну еквівалентність (коли два ряди мають одну й ту саму однорідну апроксимацію) і слабку алгебраїчну еквівалентність (коли два ряди мають один і той самий максимальний лівий ідеал і, отже, мають одну й ту саму мінімальну реалізуючу систему). Ми доводимо, що якщо два ряди є алгебраїчно еквівалентними, то вони є слабко алгебраїчно еквівалентними. Приклади показують, що обернене твердження не є правильним.