Однорідні апроксимації нелінійних керованих систем з виходом і слабка алгебраїчна еквівалентність
Анотація
У роботі ми розглядаємо нелінійні керовані системи, які є лінійними за керуванням, з виходом; векторні поля, що визначають систему, і вихід вважаються дійсно аналітичними. Слідуючи алгебраїчному підходу, ми розглядаємо ряди $S$ ітерованих інтегралів, що відповідають таким системам. Ітеровані інтеграли утворюють вільну асоціативну алгебру, і всі наші конструкції використовують її властивості. Спочатку ми розглядаємо множину всіх (формальних) функцій таких рядів $f(S)$ і визначаємо множину $N_S$ членів мінімального порядку для всіх таких функцій. Ми вводимо означення максимального градуйованого Лі-породженого лівого ідеалу ${\mathcal J}_S^{\rm max}$, який є ортогональним до множини $N_S$. Ми описуємо зв'язки між цим максимальним лівим ідеалом і лівим ідеалом ${\mathcal J}_S$, що породжений кореневою підалгеброю Лі системи, яка реалізує ряд. А саме, ми показуємо, що ${\mathcal J}_S\subset {\mathcal J}_S^{\rm max}$. Зокрема, з цього випливає, що градуйована підалгебра Лі, яка породжує лівий ідеал ${\mathcal J}_S^{\rm max}$, має скінченну ковимірність. Також ми даємо алгоритм, який приводить ряд $S$ до трикутної форми, і пропонуємо означення однорідної апроксимації ряду $S$. А саме, однорідною апроксимацією є однорідний ряд, компоненти якого -- доданки мінімального порядку в кожній компоненті цієї трикутної форми. Ми доводимо, що $N_S$ збігається з множиною тасуючих поліномів компонентів однорідної апроксимації. На відміну від випадку, коли вихід є тотожним, однорідна апроксимація не визначається повністю ідеалом ${\mathcal J}_S^{\rm max}$. Для того, щоб описати цю властивість, ми вводимо два різних означення еквівалентності рядів: алгебраїчну еквівалентність (коли два ряди мають одну й ту саму однорідну апроксимацію) і слабку алгебраїчну еквівалентність (коли два ряди мають один і той самий максимальний лівий ідеал і, отже, мають одну й ту саму мінімальну реалізуючу систему). Ми доводимо, що якщо два ряди є алгебраїчно еквівалентними, то вони є слабко алгебраїчно еквівалентними. Приклади показують, що обернене твердження не є правильним.Завантаження
Посилання
D.M. Andreieva, S.Yu. Ignatovich. Homogeneous approximation for minimal realizations of series of iterated integrals, Visnyk of V.N.Karazin Kharkiv National University, Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics. - 2022. - Vol. 96. - P. 23-39. DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2022-96-02
D.M. Andreieva, S.Yu. Ignatovich. Homogeneous approximation of one-dimensional series of iterated integrals and time optimality, Journal of Optimization, Differential Equations and their Applications. - 2023. - Vol. 31, No 2. - P. 1-23. DOI: http://dx.doi.org/10.15421/142308
A. Bellaiche. The tangent space in sub-Riemannian geometry, in: Progress in Mathematics, Bellaiche, A. and Risler, J. J., eds., Birkhauser Basel, 1996. - Vol. 144. - P. 1-78. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-0348-9210-0_1
M. Fliess. Fonctionnelles causales non lineaires et indeterminees non commutatives, Bull. Soc. Math. France. - 1981. - Vol. 109. - P. 3-40.
S. Yu. Ignatovich. Realizable growth vectors of affine control systems, J. Dyn. Control Syst. - 2009. - Vol. 15. - P. 557-585. DOI: http://doi.org/10.1007/s10883-009-9075-y
A. Isidori. Nonlinear control systems. 3-rd ed. Springer-Verlag, London. - 1995. - 549 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-84628-615-5
V. Jurdjevic. Geometric control theory. Cambridge University Press. - 1996. - 508 p. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511530036
M. Kawski. Combinatorial algebra in controllability and optimal control. In: Algebra and Applications-2: Combinatorial Algebra and Hopf Algebras. A. Makhlouf (Ed.), Hoboken ISTE Ltd. / John Wiley and Sons, 2021. - P. 221-286. ISBN 978-1-119-88091-2
G. Melancon, C. Reutenauer. Lyndon words, free algebras and shuffles, Canad. J. Math. - 1989. - Vol. 41. - P. 577-591. DOI: http://doi.org/10.4153/CJM-1989-025-2
C. Reutenauer. Free Lie algebras. Clarendon Press, Oxford. - 1993. - 286 p.
G. Sklyar, P. Barkhayev, S. Ignatovich, V. Rusakov. Implementation of the algorithm for constructing homogeneous approximations of nonlinear control systems, Mathematics of Control, Signals, and Systems. - 2022. - Vol. 34. - No 4. - P. 883--907. DOI: http://doi.org/10.1007/s00498-022-00330-5
G.M. Sklyar, S.Yu. Ignatovich. Free algebras and noncommutative power series in the analysis of nonlinear control systems: an application to approximation problems, Dissertationes Mathematicae. - 2014. - Vol. 504. - P. 1-88. DOI: http://dx.doi.org/10.4064/dm504-0-1
G. Sklyar, S. Ignatovich. Construction of a homogeneous approximation. In: Advanced, Contemporary Control. Advances in Intelligent Systems and Computing, A. Bartoszewicz, J. Kabzinski, J. Kacprzyk (Eds.), Springer, Cham. - 2020. - Vol. 1196. - P. 611-624. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-50936-1_52
G.M. Sklyar, S.Yu. Ignatovich, P.Yu. Barkhayev. Algebraic classification of nonlinear steering problems with constraints on control, in: Advances in Mathematics Research, Nova Science Publishers, Inc.: New York. - 2005. - Vol. 6. - P. 37--96. ISBN 9781594540325.
Авторське право (c) 2024 Д. М. Андреєва, С. Ю. Ігнатович
![Ліцензія Creative Commons](http://i.creativecommons.org/l/by-nc-nd/4.0/88x31.png)
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).