Поведінка узагальненого розв'язку початково-крайової задачі для нелінійного параболічного рівняння

Анотація

В рамках даної роботи нами вивчається поведінка узагальненого розв'язку (або так званого енергетичного розв'язку) цікавої початково-крайової задачі (а саме розглядається задача Коші-Діріхле) для параболічного рівняння, що є нелінійним. Дослідження проводиться в циліндричній області. На параметри рівняння накладається структурна умова, яка відповідає процесу повільної дифузії. Отже, в статті маємо справу з розподілом концентрації речовини в просторі та часі з урахуванням початкових та крайових умов. Цей процес має прикладний аспект та знаходить своє застосування в фізиці та інженерії, наприклад, для вивчення дифузії речовини в середовищах зі змінною концентрацією чи хімічним впливом. Розв'язання таких задач дозволяє отримати важливі дані щодо еволюції системи та прогнозувати її поведінку в різних умовах. У роботі в результаті проведеного нами дослідження було встановлено декілька інтегральних співвідношень, різних оцінок та нерівностей, які приводять до необхідності аналізу поведінки диференціальної системи нерівностей, яка, в свою чергу, дає змогу встановити наявність властивості локалізації розв'язку. Так, спираючись на добре відомі результати щодо поведінки розв'язку отриманої диференціальної системи, вдається знайти умову, що гарантує локалізацію носія розв'язку для досліджуваної задачі Коші-Діріхле. Основним результатом роботи є теорема, яка доведена при довільній фінітній початковій функції та при умові виконання певного обмеження на граничний режим. Стаття має досить стандартну структуру та, окрім анотацій та літератури, містить наступні структурні елементи: вступ; постановка задачі; основні означення; формулювання основного результату; допоміжні нерівності для доведення основного результату; допоміжні твердження для доведення теореми; доведення основного результату; висновок.