Стійкість мінімальних поверхонь у субрімановому многовиді $\widetilde {E(2)}$
Анотація
У роботі досліджуються гладкі орієнтовані поверхні в універсальному накритті групи власних рухів евклідової площини, що має лівоінваріантну структуру тривимірного субріманового многовида. Ця структура будується як обмеження евклідової метрики групи на деякий цілком неінтегровний лівоінваріантний розподіл. Субріманова площа поверхні визначається як інтеграл довжини ортогональної проєкції одиничного нормального поля поверхні на цей розподіл. Обчислено формулу першої варіації субріманової площі поверхні, з якої виведено критерій мінімальності. Тут ми розуміємо під мінімальними поверхні, що є критичними точками функціонала субріманової площі під дією нормальних варіацій з компактними носіями. Встановлено, що така мінімальність у даному випадку не є еквівалентною до рівності нулю субріманової середньої кривини поверхні. Показано, що евклідова площина є мінімальною тоді й тільки тоді, коли вона паралельна або ортогональна до осі $z$ (де координата $z$ відповідає куту обертання власного руху). Отримано умову мінімальності для явно заданої поверхні та наведені приклади таких поверхонь. Розглянуті приклади демонструють, зокрема, що з мiнiмальностi поверхнi у рімановому (у даному випадку евклiдовому) сенсi не випливає її субрiманова мiнiмальнiсть та навпаки. Далі розглядається питання про стійкість мінімальних поверхонь. Для цього виведено формулу другої варіації субріманової площі. За її допомогою встановлено, що мінімальні евклідові площини є стійкими. Введено клас поверхонь, для яких дотичні площини перпендикулярні до площин розподілу субріманової структури, і які ми звемо вертикальними. Зокрема, для таких поверхонь формула другої варіації суттєво спрощується. Показано, що повні зв’язні вертикальні мiнiмальні поверхні вичерпуються евклiдовими площинами та гелiкоїдами, причому гелікоїди нестійкі. Звідси випливає результат типу Бернштейна: повна зв’язна вертикальна мiнiмальна поверхня є стiйкою тодi й тiльки тодi, коли це евклiдова площина, що ортогональна до осі $z$.Завантаження
Посилання
D. Danielli, N. Garofalo, D. M. Nhieu, S. D. Pauls. Instability of graphical strips and a positive answer to the Bernstein problem in the Heisenberg group~$mathbb{H}^1$, J. Differential Geom. - 2009. - Vol. 81, No 2. - P. 251-295. DOI: https://doi.org/10.4310/jdg/1231856262
D. Danielli, N. Garofalo, D. M. Nhieu, S. D. Pauls. The Bernstein problem for embedded surfaces in the Heisenberg group~$mathbb{H}^1$, Indiana Univ. Math. J. - 2010. - Vol. 59, No 2. - P. 563-594. DOI: https://doi.org/10.1512/iumj.2010.59.4291
D. Fischer-Colbrie, R. Schoen. The structure of complete stable minimal surface in $3$-manifolds of non-negative scalar curvature, Comm. Pure Appl. Math. - 1980. - Vol. 33, No 2. - P. 199-211. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160330206
N. Garofalo, D.-M. Nhieu. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot-Carath'eodory spaces and the existence of minimal surfaces, Comm. Pure Appl. Math. - 1996. - Vol. 42, No 3. - P. 1081-1144. DOI: https://doi.org/10.1002/%28SICI%291097-0312%28199610%2949%3A10%3C1081%3A%3AAID-CPA3%3E3.0.CO%3B2-A
R. K. Hladky, S. D. Pauls. Minimal surfaces in the roto-translation group with applications to a neuro-biological image completion model, J. Math. Imaging Vis. - 2010. - Vol. 36, No 1. - P. 1-27. DOI: https://doi.org/10.1007/s10851-009-0167-9
A. Hurtado, C. Rosales. Area-stationary surfaces inside the sub-Riemannian three-sphere, Math. Ann. -- 2008. -- Vol. 340, No 3. - P. 675-708. DOI: https://doi.org/10.1007/s00208-007-0165-4
A. Hurtado, M. Ritor'e, C. Rosales. The classification of complete stable area-stationary surfaces in the Heisenberg group $mathbb{H}^1$, Adv. in Math. - 2010. - Vol. 224, No 2. - P. 561-600. DOI: https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.12.002
M. Ritor'e, C. Rosales. Area-stationary and stable surfaces in the sub-Riemannian Heisenberg group~$mathbb{H}^1$, Matem'atica Contempor^anea. - 2008. - Vol. 35. - P. 185-203. DOI: https://doi.org/10.21711/231766362008/rmc3512
N. Shcherbakova. Minimal surfaces in sub-Riemannian manifolds and structure of their singular sets in the (2,3) case, ESAIM Control Optim. Calc. Var. - 2009. - Vol. 15, No 4. - P. 839-862. DOI: https://doi.org/10.1051/cocv:2008051
L. Simon. Lectures on geometric measure theory, Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University. - 1983. - Vol. 3. - vii+272p. ISBN:0-86784-429-9
Авторське право (c) 2023 Eugene Petrov, Ihor Havrylenko
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
