Про деякі гіпергеометричні соболевські ортогональні многочлени з кількома неперервними параметрами

Анотація

В цій статті ми вивчаємо наступні гіпергеометричні многочлени:
$$ \mathcal{P}_n(x) = \mathcal{P}_n(x;\alpha,\beta,\delta_1,
\dots,\delta_\rho,\kappa_1,\dots,\kappa_\rho) = $$ $$ = {}_{\rho+2} F_{\rho+1} (-n,n+\alpha+\beta+1,\delta_1+1,\dots,
\delta_\rho+1;\alpha+1,\kappa_1+\delta_1+1,\dots,
\kappa_\rho+\delta_\rho+1;x), $$ та $$ \mathcal{L}_n(x) = \mathcal{L}_n(x;\alpha,\delta_1,\dots,\delta_\rho,\kappa_1,\dots,\kappa_\rho) = $$ $$ = {}_{\rho+1} F_{\rho+1} (-n,\delta_1+1,\dots,\delta_\rho+1;\alpha+1,\kappa_1+\delta_1+1,\dots,
\kappa_\rho+\delta_\rho+1;x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, $$ де $\alpha,\beta,\delta_1,\dots,\delta_\rho\in(-1,+\infty)$,
та $\kappa_1,\dots,\kappa_\rho\in\mathbb{Z}_+$, є деякими параметрами. Натуральне число $\rho$ неперервних параметрів $\delta_1,\dots,\delta_\rho$ може бути обраним довільно великим. Ясно, що спеціальний випадок $\kappa_1=\dots=\kappa_\rho=0$ призводить до многочленів Якобі та Лагерра. Звичайно, подібні та більш загальні поліноми виникали в літературі раніше. Наша мета тут полягає в тому, щоб показати, що поліноми $\mathcal{P}_n(x)$ та $\mathcal{L}_n(x)$ є соболевськими ортогональними многочленами на дійсній осі з деякими явними матричними мірами. Важливість ортогональності була нашою головною причиною зосередити нашу увагу на поліномах $\mathcal{P}_n(x)$ та $\mathcal{L}_n(x)$. Тут ми використовуємо деякі наші інструменти, отримані раніше. Зокрема, нещодавно було показано, що соболевські ортогональні многочлени пов'язані через диференціальне рівняння з ортогональними системами $\mathcal{A}$ функцій, що діють у прямих сумах звичайних $L^2_\mu$ просторів квадратично сумованих (класів еквівалентності) функцій відносно позитивної міри $\mu$. Випадок одного $L^2_\mu$ має додаткову цікавість, оскільки він дозволяє використовувати OPRL для отримання явних систем соболевських ортогональних многочленів. Основна проблема тут полягає в \textit{виборі підходящого лінійного диференціального оператора з метою отримання явних представлень соболевських ортогональних многочленів}. Після цього доказ співвідношень ортогональності є перевіркою такого вибору і проводиться в іншому напрямку: ми починаємо з вже відомих многочленів та йдемо до їх властивостей. Ми також коротко вивчаємо такі властивості вищенаведених поліномів: інтегральні представлення, диференціальні рівняння та розташування нулів. Побудовано систему таких поліномів з біспектральністю певного виду.