Про інтегрування відносно фільтра

Анотація

Дану статтю присвячено дослідженню одного узагальнення інтеграла Рімана. А саме, в роботі помічено, що класичне означення інтеграла Рімана по скінченному відрізку як границі інтегральних сум, коли діаметр розбиття відрізка прямує до нуля, може бути замінено на границю інтегральних сум по фільтру множин, які можна описати певним "хорошим чином". Цю ідею продовжено, і в роботі запропоновано нове поняття -- інтеграла функції по фільтру на множині всіх відмічених розбиттів відрізка. Використання фільтрів є дуже хорошим методом в питаннях, пов’язаних зі збіжністю або деякими її аналогами в загальних топологічних векторних просторах. А саме, якщо простір не є метризовним, то поняття збіжності вводиться саме за допомогою фільтрів. Також, використовуючи фільтри, можна формулювати поняття повноти та її аналогів. Повнота просторів є одним із центральних понять теорії топологічних векторних просторів, оскільки банахові простори є повними. Тобто, використовуючи узагальнення повноти просторів, побудованих з використанням фільтрів, ми можемо досліджувати різні узагальнення банахових просторів. Далі в статті досліджуються стандартні питання, пов'язані з інтегруванням. Наприклад, чи витікає з інтегровності функції по фільтру її обмеженість? На це питання дано ствердну відповідь. Докладніше: введено поняття обмеженості функції за фільтром, і показано, що якщо функція є інтегровною за фільтром, то її інтегральні суми є обмеженими за фільтром, а сама ця функція є обмеженою в класичному розумінні. Далі ми показали, що інтеграл за фільтром задовольняє властивість лінійності, а саме інтеграл за фільтром від суми двох функцій є сумою інтегралів за фільтром цих доданків. Крім того, ми маємо змогу виносити постійний множник з-під знаку інтеграла за фільтром. Ми вводимо поняття точно відміченого фільтра, і за допомогою таких фільтрів вивчаємо інтегровність за фільтром необмежених на відрізку функцій. Ми наводимо приклад конкретної необмеженої функції та конкретного фільтра, за яким дана функція є інтегровною Далі ми доводимо теорему, яка описує необмежені, інтегровні за фільтром, функції на відрізку. Останній розділ статті присвячено інтегрегрування функцій відносно фільтра по підвідрізку даного відрізка.