Побудова функції керованості як часу руху

Анотація

Дана стаття присвячена методу функції керованості в задачах допустимого синтезу для лінійних канонічних систем. В роботі розглянуті способи побудови такого керування, щоб функція керованості була часом руху довільної точки в початок координат. Розглядається канонічна керована система лінійних рівнянь $\dot{x}_i=x_{i+1}, i=\overline{1,n-1}, \dot{x}_n=u$ з обмеженнями на управління $|u| \le d$. Функція керованості $\Theta$ знаходиться як єдиний додатній розв'язок неявного рівняння $2a_0\Theta=(D(\Theta)FD(\Theta)x,x)$, де $D(\Theta)= diag(\Theta^{-\frac{-2n-2i+1}{2}})_{i=1}^n$, матриця $F=\{f_{ij}\}_{i,j=1}^n$ додатно визначена, а $a_0>0$ обирається так, щоб виконувались обмеження на керування. Функція керованості є часом руху, якщо $\dot{\Theta}= -1$. З цієї умови отримано рівняння, розв'язання якого розглядається у даній роботі.
На відміну від попередніх робіт з цієї теми, на вигляд матриці $F$ не накладено додаткові обмеження. В цій статті знайдено множину параметрів матриці $F$ та вектор-стовпця $a$, які задовільняють отриманому рівнянню та для яких функція керованості час руху із точки $x$ у початок координат. Таким чином описується весь клас функцій керованості, які є часом руху. У загальному випадку при знаходження розв'язку задачі Коші відповідної системи можуть виникати труднощі. Система, яка розглядалась у даній роботі зводиться до рівняння Ейлера, для якого можна знайти характеристичне рівняння, а отже і траєкторію у явному вигляді.
Розглянуто двовимірну, тривимірну та чотиривимірну канонічні системи. У кожному випадку розв'язано матричне рівняння та знайдено множини параметрів, при яких значення функції керованості буде часом руху довільної точки в початок координат. Також обрано деякий довільний набір параметрів, які задовільняють умовам додатної визначеності матриці $F$ та побудовано траєкторії з обраних початкових точок в початок координат.