Однорідна апроксимація мінімальних реалізацій рядів ітерованих інтегралів
Анотація
У статті розглядаються реалізовні ряди ітерованих інтегралів зі скалярними коефіцієнтами і розвивається алгебраїчний підхід до задачі однорідної апроксимації нелінійних керованих систем з виходом. У першому розділі ми нагадуємо поняття однорідної апроксимації нелінійної керованої системи, лінійної за керуванням, та поняття ряду ітерованих інтегралів. У другому розділі наведено постановку задачі реалізовності, нагадано критерій реалізовності ряду ітерованих інтегралів та спосіб побудови мінімальної реалізації ряду. Також ми нагадуємо деякі ідеї алгебраїчного підходу до опису однорідної апроксимації: вільна градуйована асоціативна алгебра, що ізоморфна алгебрі ітерованих інтегралів, вільна алгебра Лі, базис Пуанкаре-Біркгофа-Вітта, біортогональний базис і його побудова за допомогою тасуючого добутку, означення кореневої підалгебри Лі, яка визначає однорідну апроксимацію керованої системи. У третьому розділі ми показуємо, як можна знайти кореневу підалгебру Лі системи, яка є реалізацією одновимірного ряду ітерованих інтегралів, не знаходячи самої системи. Отриманий результат проілюстровано прикладом, в якому продемонстровано два способи знаходження кореневої підалгебри Лі реалізуючої системи. В останньому розділі показано, що для будь-якої градуйованої підалгебри Лі скінченної ковимірності існує такий одновимірний однорідний ряд, що ця підалгебра Лі є кореневою підалгеброю Лі його мінімальної реалізації. Доведення є конструктивним: ми наводимо спосіб побудови такого ряду, в якому використовується біортогональний базис до базису Пуанкаре-Біркгофа-Вітта вільної асоціативної алгебри, побудований за кореневою підалгеброю Лі, і тасуючий добуток в цій алгебрі. Як наслідок, отримуємо класифікацію всіх можливих однорідних апроксимацій систем, які є реалізаціями одновимірних рядів ітерованих інтегралів.Завантаження
Посилання
A. A. Agrachev, R. V. Gamkrelidze, A. V. Sarychev. Local invariants of smooth control systems, Acta Appl. Math. -- 1989. - Vol. 14. - P.191-237. DOI: http://doi.org/10.1007/BF01307214
A. Bellaiche. The tangent space in sub-Riemannian geometry, in: Progress in Mathematics, Bellaiche, A. and Risler, J. J., eds., Birkh"{a}user Basel, 1996. -- Vol. 144. -- P.~1--78. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-0348-9210-0_1
P. E. Crouch. Solvable approximations to control systems, SIAM J. Control Optimiz. -- 1984. -- Vol. 22. -- P. 40--54. DOI: http://doi.org/10.1137/0322004
M. Fliess. Realization of nonlinear systems and abstract transitive Lie algebras, Bull. of the AMS. -- 1980. -- Vol. 2. -- P.~444--446. DOI: http://doi.org/10.1090/S0273-0979-1980-14760-6
M. Fliess. Fonctionnelles causales non lin'{e}aires et ind'{e}termin'{e}es non commutatives, Bull. Soc. Math. France. -- 1981. -- Vol. 109. -- P.~3--40.
H. Hermes. Nilpotent and high-order approximations of vector field systems, SIAM Rev. -- 1991. -- Vol. 33. -- P. 238--264. DOI: http://doi.org/10.1137/1033050
S. Yu. Ignatovich. Realizable growth vectors of affine control systems, J. Dyn. Control Syst. -- 2009. -- Vol. 15. -- P.~557--585. DOI: http://doi.org/10.1007/s10883-009-9075-y
A. Isidori. Nonlinear control systems. 3-rd ed. Springer-Verlag, London. -- 1995. -- 549 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-84628-615-5
B. Jakubczyk. Existence and uniqueness of realizations of nonlinear systems, SIAM J. Control and Optimiz. -- 1980. -- Vol. 18. -- P.~455--471. DOI: http://doi.org/10.1137/0318034
F. Jean. Control of nonholonomic systems: from sub-Riemannian geometry to motion planning, Springer Cham. -- 2014. -- 104 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-08690-3
M. Kawski. Nonlinear control and combinatorics of words, in: Geometry of Feedback and Optimal Control, Dekker. -- 1997. -- P. 305--346.
M. Kawski. Combinatorial algebra in controllability and optimal control, in: Algebra and Applications 2: Combinatorial Algebra and Hopf Algebras, A. Makhlouf, ed., Chapter 5. -- 2021. -- P.~221--286. DOI: https://doi.org/10.1002/9781119880912.ch5
M. Kawski, H. J. Sussmann. Noncommutative power series and formal Lie-algebraic techniques in nonlinear control theory, in: Operators, Systems and Linear Algebra. European Consortium for Mathematics in Industry, U.~Helmke, D. Pr"{a}tzel-Wolters, E. Zerz, eds., Teubner. -- 1997. -- P.~111--128. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-663-09823-2_10
G. Melanc{c}on, C. Reutenauer. Lyndon words, free algebras and shuffles, Canad. J. Math. -- 1989. -- Vol. textbf{41}. -- P.~577--591. DOI: http://doi.org/10.4153/CJM-1989-025-2
P. Mormul, F. Pelletier. Symmetries of special 2-flags, Journal of Singularities. -- 2020. -- Vol. textbf{21}. -- P.~187--204. DOI: http://doi.org/10.5427/jsing.2020.21k
C. Reutenauer. Free Lie algebras. Clarendon Press, Oxford. -- 1993. -- 286 p.
G. M. Sklyar, S. Yu. Ignatovich. Moment approach to nonlinear time optimality, SIAM J. Control Optimiz. -- 2000. -- Vol. 38. -- P.~1707--1728. DOI: http://doi.org/10.1137/S0363012997329767
G. M. Sklyar, S. Yu. Ignatovich. Approximation of time-optimal control problems via nonlinear power moment min-problems, SIAM J. Control Optimiz. -- 2003. -- Vol. textbf{42}. -- P.~1325--1346. DOI: http://doi.org/10.1137/S0363012901398253
G. M. Sklyar, S. Yu. Ignatovich. Free algebras and noncommutative power series in the analysis of nonlinear control systems: an application to approximation problems, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) -- 2014. -- Vol. 504. -- P.~1--88. DOI: http://doi.org/10.4064/dm504-0-1
G. Sklyar, P. Barkhayev, S. Ignatovich, V. Rusakov. Implementation of the algorithm for constructing homogeneous approximations of nonlinear control systems, Mathematics of Control, Signals, and Systems. -- 2022. -- Vol. 34. -- P.~883--907. DOI: http://doi.org/10.1007/s00498-022-00330-5
G. Stefani. Polynomial approximations to control systems and local controllability, in: 1985 24th IEEE Conference on Decision and Control. -- 1985. -- P.~33--38. DOI: http://doi.org/10.1109/CDC.1985.268467
Авторське право (c) 2022 Д. М. Андреєва, С. Ю. Ігнатович
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
