Огляд реологічних моделей і постановок математичних задач для кровотоку

Анотація

Наведено огляд реологічних рівнянь, які запропоновані в літературі для математичного моделювання ламінарних і турбулентних течій крові як концентрованої суспензії м'яких частинок. Детально обговорюються реологічні моделі крові як однорідної ньютонівської та неньютонівської рідин; рідини, що розріджують зі зсувом; в’язкопластичної; в’язкопружної; тиксотропної та мікроморфної рідин. Згідно з наведеними експериментальними даними, адекватна реологічна модель крові повинна описувати псевдопластичну і тіксотропну поведінку з залежними від концентрації в’язкопружними властивостями, які властиві крові здорової людини. Ці властивості можна детальніше вивчати на відповідних математичних формулюваннях задач для течій крові крізь трубки або канали. Обговорені системи рівнянь і граничні умови для кожної із запропонованих реологічних моделей. Точні рішення для стаціонарних ламінарних течій між паралельними пластинами та через трубки кругового перерізу виписані та проаналізовані для рідин Оствальда, Гершеля-Балклі та Бінгама. Для кожної моделі досліджено вплив параметрів моделі на профілі швидкості. Показано, що певні набори параметрів рідини призводять до сплощення профілю швидкості, а інші викликають його загострення навколо осі каналу.

Показано, що члени другого порядку в моделях в’язкопружності приводять до систем диференціальних рівнянь з частинними похідними з високими порядками за часом і змішаними просторово-часовими похідними. Наведені відповідні постановки задач для  хвильових течій рідин з узагальненими реологічними законами крізь м'які трубки. Отримано аналітичні розв'язки для швидкості течії, гідростатичного тиску і площі перерізу трубки у вигляді нормальних мод. Показано, що дисперсійні рівняння дають додатковий набір для швидкості звуку (так званий другий звук) у рідині. Зроблено висновок, що найбільш загальна реологічна модель повинна включати ефекти псевдопластичні, концентрації частинок та другого звуку.