Форма хвильових пакетiв у тришаровiй гiдродинамiчнiй системi

Анотація

Стаття присвячена проблемi поширення хвильових пакетiв у тришаровiй гiдродинамiчнiй системi "шар з твердим дном – шар – шар з кришкою", стратифiкованiй за густиною. Виконано огляд сучасних дослiджень з обраної тематики. Математична постановка задачi наведена в безрозмiрному виглядi та мiстить рiвняння руху рiдини, кiнематичнi та динамiчнi умови на поверхнях контакту, а також граничнi умови на кришцi та на днi. З використанням методу багатомасштабних розвинень отримано першi три наближення дослiджуваної задачi, з яких в статтi наведено першi два, оскiльки третє наближення має громiздкий аналiтичний вигляд. Представлено розв’язки першого наближення та дисперсiйне спiввiдношення. Виведено еволюцiйнi рiвняння обвiдних хвильових пакетiв на поверхнях контакту у виглядi нелiнiйного рiвняння Шредiнгера на основi дисперсiйного спiввiдношення та умов розв’язностi другого та третього наближень. Отримано частинний розв’язок нелiнiйного рiвняння Шредiнгера пiсля переходу до системи, яка рухається з груповою швидкiстю. Для першого та другого наближення виведено формули вiдхилень поверхонь контакту, з урахуванням розв’язку нелiнiйного рiвняння Шредiнгера. Виведено умови, при яких змiнюється форма хвильових пакетiв на верхнiй та нижнiй поверхнях контакту. Наведено та проаналiзовано областi знакосталостi коефiцiєнтiв при других гармонiках на верхнiй та нижнiй поверхнях контакту для обох пар частот, якi є коренями дисперсiйного спiввiдношення. Також, для обох пар частот графiчно проiлюстровано та проаналiзовано рiзнi випадки накладання максимумiв та мiнiмумiв першої та другої гармонiк, при яких виникає асиметрiя форми хвильових пакетiв. Всi результати проiлюстрованi графiчно. Аналiтичнi перетворення, обчислення та графiчне представлення результатiв виконано з використанням пакету символьних обчислень та комп’ютерної алгебри Maple.