Теорема про мале посилення для стiйкостi вхiдстан за скiнченнй час нескiнченних мережевих систем i ї ї застосування
Анотація
Ми доводимо достатню умову стiйкостi вхiд-стан за скiченний час нескiнченних мережевих систем в термiнах малого посилення (small gain condition). Мережева система, що розглядається, складається зi злiченної множини скiнченновимiрних систем звичайних диференцiальних рiвнянь, кожна з яких з’єднана тiльки зi скiченною множиною сусiднiх пiдсистем, а також мiстить зовнiшнє збурення. Пе- редбачається, що кожен вузол мережi (кожна пiдсистема) є стiйкою вхiд-стан за скiнченний час вiдносно його скiнченновимiрних входiв утворених фазовими змiнними сусiднiх пiдсистем i зовнiшнiм збуренням. Як застосування цього результату (наслiдок) ми отримуємо нову теорему про децентралiзовану стабiлiзацiю вхiд-стан за скiнченний час для нескiнченних мережевих систем, якi представляють собою злiченний набiр з’єднаних трикутних систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Для цього ми комбiнуємо доведену в данiй роботi теорему малого посилення (small gain theorem) з методом побудови децентралiзованих стабiлiзуючих керувань, який отримано в роботi S. Pavlichkov and C. K. Pang (NOLCOS-2016) для кiнцевих мережевих систем. Дана робота переносить результати недавньої роботи S. Dashkovskiy and S. Pavlichkov, Stability conditions for infinite networks of nonlinear systems and their application for stabilization, Automatica. – 2020. – 112. – 108643 на випадок ста- бiлiзацiї за скiченний час. Ця стаття поширює та узагальнює свого попередника - конференцiйну статтю на випадок стiйкостi вхiд-стан за скiнченний час та децентралiзованої стабiлiзацiї за наявностi зовнiшнiх входiв-збурень. В окремому випадку, коли всi зовнiшнi збурення є нулями, ми просто отримуємо стiйкiсть за скiнченний час та вiдповiдно децентралiзовану стабiлiзацiю нескiнченних мережевих систем за скiнченний час.Завантаження
Посилання
M. O. Bebiya. Global synthesis of bounded controls for systems with power nonlinearity, Visnyk of V. N. Karazin Kharkiv National University, Ser. “Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics”.–2015. – 81. – P. 36–51. DOI: 10.26565/2221-5646-2015-81-04
G. A. Bessonov, V. I. Korobov, and G. M. Sklyar. The problem of the stable synthesis of bounded controls for a certain class of non-steady systems, Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 1988. – 52(1). – P. 11–17. DOI: 10.1016/0021-8928(88)90052-4
S. P. Bhat and D. S. Bernstein. Finite time stability of continuous autonomous systems, SIAM J. Control Optim.–2000. – 38(3). – P. 751–766. DOI: 10.1137/S0363012997321358
A. E. Choque Rivero. The controllability function method for the synthesis problem of a nonlinear control system, International Review of Automatic Control. – 2008. – 4(1). – P. 441–445.
R. Curtain, O. V. Iftime, and H. Zwart. System theoretic properties of a class of spacially invariant systems, Automatica. – 2009. – 45. – P. 1619–1627. DOI: 10.1016/j.automatica.2009.03.005
R. D’Andrea and G. E. Dullerud. Distributed control design for spacially interconnected systems, IEEE Trans. Automatic Control. – 2003. – 48. – P. 1478–1495. DOI: 10.1109/TAC.2003.816954
S. Dashkovskiy and S. Pavlichkov. Stability conditions for infinite networks of nonlinear systems and their application for stabilization, Automatica. – 2020. – 112. – 108643. DOI: 10.1016/j.automatica.2019.108643
S. Dashkovskiy, B. Ruffer and F. Wirth. An ISS small gain theorem for general networks, Math. Control Signals Systems. – 2007. – 19(2). – P. 93–122. DOI: 10.1007/s00498-007-0014-8
S. Dashkovskiy, B. Ruffer and F. Wirth. Small gain theorems for large scale systems and construction of ISS Lyapunov functions, SIAM J. Control Optim. – 2010. – 48(6). – P. 4089–4018. DOI: 10.1137/090746483
S. Dashkovskiy, M. Kosmykov, A. Mironchenko, and L. Naujok. Stability of interconnected impulsive systems with and without time delays, using Lyapunov methods, Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. – 2012. – 6(3). – P. 899–915. DOI: 10.1016/j.nahs.2012.02.001
P. De Leenheer, D. Angeli, and E. D. Sontag. Monotone chemical reaction networks, Journal of Mathematical Chemistry. – 2007. – 41(3). – P. 295–314. DOI: 10.1007/s10910-006-9075-z
J. M. Hendrickx and S. Martin. Open multi-agent systems: Gossiping with random arrivals and departures, In: Proc. 2017 IEEE Conference on Decision and Control (CDC) (Melbourne, VIC, Australia, December 12–15, 2017). – 2017. – P. 763–768. DOI: 10.1109/CDC.2017.8263752
Y. Hong and Z.-P. Jiang. Finite-time stabilization of nonlinear systems with parametric and dynamic uncertainties, IEEE Trans. Automatic Control. – 2006. – 51. – P. 1950–1956. DOI: 10.1109/TAC.2006.886515
Y. Hong, Z.-P. Jiang, and G. Feng. Finite-time input-to-state stability and applications to finite-time control design, SIAM J. Control Optim. – 2010. – 48(7). – P. 4395–4418. DOI: 10.1137/070712043
Y. Hong, H. O. Wang, and L. G. Bushnell. Adaptive finite-time control of nonlinear systems, In: Proc. 2001 American Control Conf. (Arlington, VA, USA, 25 Jun – 27 Jun 2001). – 2001. – P. 4149–4154. DOI: 10.1109/ACC.2001.945626
H. Ito. State-dependent scaling problems and stability of interconnected iISS and ISS systems, IEEE Trans. Automat. Control. – 2006. – 51(10). – P. 1626– 1643. DOI: 10.1109/TAC.2006.882930
Z.-P. Jiang, A. R. Teel, and L. Praly. Small-gain theorem for ISS systems and applications, Math. Control Signals Systems. – 1994. – 7(2). – P. 95–120. DOI: 10.1007/BF01211469
Z.-P. Jiang and Y. Wang. A generalization of the nonlinear small-gain theorem for large-scale complex systems, In: Proc. of the 7th World Congress of Intelligent Control and Automation, Chongqing, China. – 2008. – P. 1188–1193. DOI: 10.1109/WCICA.2008.4593093
C. Kawan, A. Mironchenko, A. Swikir, N. Noroozi, and M. Zamani. A Lyapunov-based small-gain theorem for infinite networks, IEEE Trans. Autom. Control. DOI: 10.1109/TAC.2020.3042410
V. I. Korobov. Controllability, stability of certain nonlinear systems, Differ. Uravn. – 1973. – 9(4). – P. 614–619.
V. I. Korobov. A general approach to the solution of the bounded control synthesis problem in a controllability problem, Mat. Sb. (USSR). – 1979. – 109(151). – P. 582–606.
V. I. Korobov. A solution of the problem of synthesis using a controllability function, Doklady Academii Nauk USSR. – 1979. – 248. – P. 1051–1063.
V. I. Korobov and G.M. Sklyar. Methods for constructing positional controls, and a feasible maximum principle, Differ. Uravn. – 1990. – 26(11). – P. 1914– 1924.
T. Liu and Z.-P. Jiang. Distributed output-feedback control of nonlinear multi-agent systems, IEEE Trans. Automatic Control. – 2013. – 58(11). – P. 2912-–2917. DOI: 10.1109/TAC.2013.2257616
S. Mehraeen, S. Jagannathan, and M. L. Crow. Decentralized dynamic surface control of large-scale interconnected systems in strict-feedback form using neural networks with asymptotic stabilization, IEEE Trans. Neural Networks. – 2011. – 22. – P. 1709–1722. DOI: 10.1109/TNN.2011.2140381
S. Mehraeen, S. Jagannathan, and M. L. Crow. Power system stabilization using adaptive neural network-based dynamic surface control, IEEE Trans. Power Systems. – 2011. – 26(2). – P. 669–680. DOI: 10.1109/TPWRS.2010.2059717
A. Mironchenko and H. Ito. Construction of Lyapunov functions for interconnected parabolic systems: an iISS approach, SIAM J. Control Optimiz. – 2015. – 53(6). – P. 3364–3382. DOI: 10.1137/14097269X
A. Mironchenko and F. Wirth. Characterizations of input-to-state stability for infinite-dimensional systems, IEEE Trans. Autom. Control. – 2018. – 63(6). – P. 1692–1707. DOI: 10.1109/TAC.2017.2756341
S. Pavlichkov and C. K. Pang. Decentralized finite-time stabilization of multiagent systems with invertible and non-invertible input-output links, In: Proc. 10th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (Monterey, CA, USA, August 23–25, 2016). – 2016. – P. 760–765. DOI: 10.1016/j.ifacol.2016.10.257
S. Pavlichkov. A finite-time small-gain theorem for infinite networks and its applications, In: Proc. 2018 IEEE Conference on Decision and Control (CDC) (Miami Beach, FL, USA, December 17–19, 2018). – 2018. – P. 700–705. DOI: 10.1109/CDC.2018.8619208
S. Pavlichkov and C. K. Pang. A note on applications of a trajectory-based small-gain theorem to decentralized stabilization of switching networks with generalized dead zones, Journal of the Franklin Institute. – 2020. – 357(12). – P. 7796–7817. DOI: 10.1016/j.jfranklin.2020.05.045
I. Polushin, S. Dashkovskiy, A. Takhmar, and R. Patel. A small gain framework for networked cooperative force-reflecting teleoperation, Automatica. – 2013. – 49. – P. 338–348. DOI: 10.1016/j.automatica.2012.11.001
I. Polushin, H. J. Marquez, A. Tayebi, and P.X. Liu. A multichannel IOS small gain theorem for systems with multiple time-varying communication delays, IEEE Trans. Automatic Control. – 2009. – 54(2). – P. 404—409. DOI: 10.1109/TAC.2008.2009582
A. Polyakov, D. Efimov, and W. Perruquetti. Finite-time and fixed time stabilization: Implicit Lyapunov function approach, Automatica. – 2015. – 51. – P. 332–340. DOI: 10.1016/j.automatica.2014.10.082
B. Recht and R. D’Andrea. Distributed control of systems over discrete groups, IEEE Trans. Automatic Control. – 2004. – 49. – P. 1446–1452. DOI: 10.1109/TAC.2004.834122
E. D. Sontag. Smooth stabilization implies coprime factorization, IEEE Trans. Automat. Control. – 1989. – 34(4). – P. 435–443. DOI: 10.1109/9.28018
E. D. Sontag and Y. Wang. On characterizations of the input-to-state stability property, Systems and Control Letters. – 1995. – 24(5). – P. 351–359. DOI: 10.1016/0167-6911(94)00050-6
E. D. Sontag and Y. Wang. New characterizations of input-to-state stability, IEEE Trans. Automatic Control. – 1996. – 41(9). – P. 1283–1294. DOI: 10.1109/9.536498
J. Tsinias and I. Karafyllis. ISS property for time-varying systems and application to partial-state feedback stabilization and asymptotic tracking, IEEE Trans. Automatic Control. – 1999. – 44(11). – P. 2179–2184. DOI: 10.1109/9.802941
X. Xuang, W. Lin, and B. Yang. Global finite-time stabilization for a class of uncertain nonlinear systems, Automatica. – 2005. – 41. – P. 881–888. DOI: 10.1016/j.automatica.2004.11.036
H. Zwart, A. Firooznia, J. Ploeg, and N. van de Wouw. Optimal control for non-exponentially stabilizable spacially invariant systems with an application to vehicular platooning, In: Proc. 52nd IEEE Contr. Dec. Conf. (Firenze, Italy, 10 Dec – 13 Dec 2013). – 2013. – P. 3038–3042. DOI: 10.1109/CDC.2013.6760345
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
