Про однорiднi функцiї керованостi
Анотація
Метод функцiї керованостi, введений В. I. Коробовим наприкiнцi 1970-х рокiв, як вiдомо, є ефективним iнструментом для проектування систем керування. Вiн розроблений як для лiнiйних/нелiнiйних, так i для скiнченно/нескiнченновимiрних систем. Ця стаття поєднує цей метод iз теорiєю однорiдностi, що корiнням сягає початку 18 столiття та являє собою симетрiєю функцiї щодо рiвномiрного масштабування її аргументу. Узагальнення такого ефективного пiдходу були введенi в 20 столiттi. У цiй роботi показано, що так звана однорiдна норма є функцiєю керованостi лiнiйної автономної системи керування, а вiдповiдна замкнута система є однорiдною в узагальненому сенсi. Це вiдразу дає багато корисних властивостей, вiдомих для однорiдних систем, таких як робастiсть (стабiльнiсть вхiдних даних) щодо досить великого класу збурень, зокрема щодо обмежених адитивних шумiв вимiрювання та обмежених адитивних екзогенних збурень. Основна теорема, представлена в цiй роботi, дещо уточнює побудову функцiї керованостi для лiнiйних автономних систем керування з кiлькома входами. Процедура полягає в розв’язаннi лiнiйного алгебраїчного рiвняння та систему лiнiйних матричних нерiвностей. Сама однорiднiсть i використання канонiчної однорiдної норми iстотно спрощують знаходження функцiї керованостi та аналiз замкнутої системи. Теоретичнi результати пiдкрiпленi прикладами. Перспективним напрямком для майбутнiх дослiджень є подальше вивчення побудови функцiй керованостi на основi однорiдностi.Завантаження
Посилання
V. Andrieu, L. Praly, and A. Astolfi. Homogeneous Approximation, Recursive Observer Design, and Output Feedback, SIAM Journal of Control and Optimization, – 2008. – 47(4). – P. 1814–1850. DOI: 10.1137/060675861.
E. Bernuau, D. Efimov, W. Perruquetti, and A. Polyakov. On homogeneity and its application in sliding mode control, Journal of The Franklin Institute, – 2014. – 351(4). – P. 1866–1901. DOI: 10.1016/j.jfranklin.2014.01.007.
E. Bernuau, A. Polyakov, D. Efimov, and W. Perruquetti. Verification of ISS, iISS and IOSS properties applying weighted homogeneity, System & Control Letters, – 2013. – 62(12). – P. 1159–1167. DOI: 10.1016/j.sysconle.2013.09.004.
S. P. Bhat and D. S. Bernstein. Geometric homogeneity with applications to finite-time stability, Mathematics of Control, Signals and Systems, – 2005. – 17. – P. 101–127. DOI: 10.1007/s00498-005-0151-x.
S. P. Bhat and D. S. Bernstein. Finite time stability of continuous autonomous systems, SIAM J. Control Optim., – 2000. – 38(3). – P. 751–766. DOI: 10.1137/S0363012997321358.
S. Boyd, E. Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. 1994. SIAM, Philadelphia, ix + 185 p. DOI: 10.1137/1.9781611970777.
J.-M. Coron and L. Praly. Adding an integrator for the stabilization problem, Systems & Control Letters, – 1991. – 17(2). – P. 89–104. DOI: 10.1016/0167-6911(91)90034-C.
V. Fischer and M. Ruzhansky. Quantization on Nilpotent Lie Groups. 2016. Springer, XIII + 557 p. DOI: 10.1007/978-3-319-29558-9.
G. Folland. Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups, Arkiv for Matematik, – 1975. – 13(1-2). – P. 161–207.
L. Gr¨une. Homogeneous state feedback stabilization of homogeneous systems, SIAM Journal of Control and Optimization, – 2000. – 38(4). – P. 1288–1308. DOI: 10.1137/S0363012998349303.
H. Hermes. Nilpotent approximations of control systems and distributions, SIAM Journal of Control and Optimization, – 1986. – 24(4). – P. 731–736. DOI: 10.1137/0324045.
Y. Hong. H∞ control, stabilization, and input-output stability of nonlinear systems with homogeneous properties, Automatica, – 2001. – 37(6). – P. 819– 829. DOI: 10.1016/S0005-1098(01)00027-9.
M. Kawski. Homogeneous stabilizing feedback laws, Control Theory and Advanced Technology, – 1990. – 6(4). – P. 497–516.
M. Kawski. Families of dilations and asymptotic stability, Analysis of Controlled Dynamical Systems, – 1991. – 8. – P. 285–294. DOI: 10.1007/978-1-4612-3214-8–25.
V. V. Khomenuk. On systems of ordinary differential equations with generalized homogenous right-hand sides, Izvestia vuzov. Mathematica, – 1961. – 3(22). – P. 157–164 (in Russian).
V. I. Korobov. A solution of the synthesis problem using controlability function, Doklady Academii Nauk SSSR, – 1979. – 248. – P. 1051–1063.
V. I. Korobov. Controllability Function Method. 2007, Institute of Computer Research "Regular and chaotic dynamics", M.–Izhevsk, 576 p. (in Russian). ISBN 978-5-93972-610-8
A. Levant. Higher-order sliding modes, differentiation and output-feedback control, International Journal of Control, – 2003. – 76(9-10). – P. 924–941. DOI: 10.1080/0020717031000099029.
F. Lopez-Ramirez, A. Polyakov, D. Efimov, and W. Perruquetti. Finitetime and fixed-time observer design: Implicit Lyapunov function approach, Automatica, – 2018. – 87. – P. 52–60. DOI: 10.1016/j.automatica.2017.09.007.
A. M. Lyapunov. The general problem of the stability of motion. 1992. Taylor & Francis.
M. Misrikhanov and V. Ryabchenko. Pole placement for controlling a large scale power system, Automation and Remote Control, – 2011. – 72. – P. 2123–2146. DOI: 10.1134/S0005117911100110.
H. Nakamura, Y. Yamashita, and H. Nishitani. Smooth Lyapunov functions for homogeneous differential inclusions, In Proceedings of the 41st SICE Annual Conference, – 2002. – 3. – P. 1974–1979. DOI: 10.1109/SICE.2002.1196633.
E. Noether. Invariante variationsprobleme, Kgl. Ges. d. Wiss. Nachrichten, Math.-phys. Klasse, – 1918. – P. 235–257 (In German).
A. Polyakov. Nonlinear feedback design for fixed-time stabilization of linear control systems, IEEE Transactions on Automatic Control, – 2012. – 57(8). – P. 2106–2110. DOI: 10.1109/TAC.2011.2179869.
A. Polyakov. Time-suboptimal feedback design via linear matrix inequalities, Automation and Remote Control, – 2015. – 76. – P. 847–862. DOI: 10.1134/S0005117915050100.
A. Polyakov. Sliding mode control design using canonical homogeneous norm, International Journal of Robust and Nonlinear Control, – 2018. – 29(3) – P. 682–701. DOI: 10.1002/rnc.4058.
A. Polyakov. Generalized Homogeneity in Systems and Control. 2020. Springer, XVIII + 447 p. DOI: 10.1007/978-3-030-38449-4.
A. Polyakov, D. Efimov, and W. Perruquetti. Robust stabilization of MIMO systems in finite/fixed time, International Journal of Robust and Nonlinear Control, – 2016. – 26(1) – P. 69–90. DOI: 10.1002/rnc.3297.
A. Polyakov, Y. Orlov, H. Oza, and S. Spurgeon. Robust finite-time stabilization and observation of a planar system revisited, In Conference on Decision and Control, – 2015. – P. 5689-5694. DOI: 10.1109/CDC.2015.7403112.
R. T. Rockafellar. Convex Analysis. 1970. Princeton University Press, 470 p.
L. Rosier. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field, Systems & Control Letters, – 1992. – 19(6). – P. 467–473. DOI: 10.1016/0167-6911(92)90078-7.
E. Roxin. On finite stability in control systems, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, – 1966. – 15. – P. 273–283.
E. P. Ryan. Universal stabilization of a class of nonlinear systems with homogeneous vector fields, Systems & Control Letters, – 1995. – 26(3). – P. 177–184. DOI: 10.1016/0167-6911(95)00013-Y.
E. D. Sontag. Smooth stabilization implies coprime factorization, IEEE Transactions on Automatic Control, – 1989. – 34(4). – P. 435–443. DOI: 10.1109/9.28018.
E. D. Sontag and Y. Wang. On characterizations of the input-to-state stability property, Systems & Control Letters, – 1996. – 24(5). – P. 351–359. DOI: 10.1016/0167-6911(94)00050-6.
V. I. Zubov. On systems of ordinary differential equations with generalized homogenous right-hand sides, Izvestia vuzov. Mathematica, – 1958. – 1. – P. 80–88 (in Russian).
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
