Про точну керованiсть та повну стабiлiзацiю для лiнiйних систем

Анотація

У цiй роботi ми розглядаємо лiнiйнi системи з керуванням, описанi рiвнянням $\dot x = \mathcal A x +\mathcal B u$, де функцiї u та x приймають значення U та X вiдповiдно. Для такого об’єкта подано короткий огляд результатiв, що стосуються зв’язкiв мiж точною керованiстю та повною стабiлiзацiєю (стабiлiзацiя з довiльною швидкiстю спаду). Аналiз проводиться в рiзних ситуацiях: обмежений чи необмежений стан та оператори керування $\mathcal A$ та $\mathcal B$, простори Банаха або Гiльберта U та X. Добре вiдома еквiвалентнiсть мiж повною керованiстю та розташуванням полюсiв у ситуацiї скiнченновимiрних просторiв в загальному випадку не має мiсця в нескiнченномiрних просторах. Точної керованостi недостатньо для повної стабiлiзацiї, якщо U i X є банаховими просторами. У постановцi Гiльбертового простору цей результат є справедливим. Зворотньє твердження також не є простим: в деяких ситуацiях повна стабiлiзацiя передбачає точну керованiсть (у просторi Банаха з обмеженими операторами), в iнших ситуацiях це не вiдповiдає дiйсностi. Вiдповiднi результати наведенi з деякими iдеями доведення. Технiчнi деталi можна знайти в цитованiй лiтературi. Наведено кiлька прикладiв. Особлива увага придiляється випадку нескiнченновимiрних систем, збудованих за системами iз загаюваннями нейтрального типу iз розподiленими загаюваннями. Бiльш детально дослiджується питання про зв’язок мiж точною нуль-керованiстю та повною стабiлiзацiєю. Загалом мiж цими поняттями немає еквiвалентностi. Однак для деяких класiв рiвнянь нейтрального типу iснує еквiвалентнiсть. Питання про те, чи є еквiвалентнiсть для бiльш загальних систем, залишається вiдкритим. Це короткий i невичерпний огляд деяких дослiджень теорiї керування у нескiнченновимiрних просторах. Нашi роботи в цiй сферi були iнiцiйованi В. I. Коробовим протягом 70-х рокiв минулого сторiччя у Харкiвському державному унiверситетi.