Керованість систем лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними
Анотація
Останнім часом теорія керованості вивчалася в багатьох роботах. Але чимало з них присвячено керованим системам, які описуються звичайними диференціальними рівняннями. У випадку систем, які описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними, вони вивчалися здебільшого для класичних рівнянь математичної фізики. Наприклад, у роботах Г. Скляра і Л. Фардиголи було вивчено проблеми керованості для хвильового рівняння на пів осі.
У цій роботі проблему повної керованості вивчено для систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами в просторах Шварца швидко спадних функцій. Одержано необхідні і достатні умови повної керованості цих систем з розподіленим керуванням спеціального вигляду: u(x,t)=e-αtu(x).
Для доведення цих умов було використано інші необхідні і достатні умови, одержані автором раніше (див. роботу ``Керованість еволюційного диференціального рівняння в частинних похідних''. Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна. Серія ``Математика, прикладна математика і механіка''. 2016. Т. 83, с. 47-56
Так система
$$\frac{\partial w(x,t)}{\partial t} = P\left(\frac\partial{i\partial x} \right) w(x,t)+ e^{-\alpha t}u(x),\quad t\in[0,T], \ x\in\mathbb R^n,$$
є повністю керованою в просторі Шварца, якщо існує α>0 таке, що
$$\det\left( \int_0^T \exp\big(-t(P(s)+\alpha E)\big)\, dt\right)\neq 0,\quad s\in\mathbb R^N.$$
Ця умова єквівалентна наступній умові: існує $\alpha>0$ таке, що
$$
\exp\big(-T(\lambda_j(s)+\alpha)\big)\neq 1,\quad \text{якщо}\ (\lambda_j(s)+\alpha)\neq0,\qquad s\in\mathbb R^n,\ j=\overline{1,m},
$$
де $\lambda_j(s)$, $j=\overline{1,m}$, є власними значеннями матриці $P(s)$, $s\in\mathbb R^n$.
Також досліджено окремий випадок системи~(\ref{Makarov-2021_f2-1}), для якої $\operatorname{Re} \lambda_j(s)$, $s\in\mathbb R$,\linebreak $j=\overline{1,m}$, є обмеженими зверху або знизу. Наприклад, системи~(\ref{Makarov-2021_f2-1}), які є коректними за Петровським, є повністю керованими.
Одержано також умови існування системи вигляду~(\ref{Makarov-2021_f2-1}), яка не є повністю керованою. Наведено приклад такої системи. Проте, якщо керування заданого вигляду не існує, то може існувати керування іншого вигляду. Приклад, що ілюструє цей ефект, також наведено в роботі.
Завантаження
Посилання
G. M. Sklyar, L. V. Fardigola. The Markov trigonometric moment problem in controllability problems for the wave equation on a half-axis, Matem. Fizika, Analiz, Geometriya, 2002. ~ Vol.~ 9, No. 2. ~ P. 233-242.
L. V. Fardigola. Controllability Problems for the String Equation on a Half-Axis with a Boundary Control Bounded by a Hard Constant, SIAM J. Control Optim., - 2008. - Vol. 47, No. 4. - P. 2179-2199. https://doi.org/10.1137/070684057
A. A. Makarov. Controllability of evolution partial differential equation, Visnyk of V.~N.~Karazin Kharkiv National University, Ser. ``Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics'', - 2016. - 83. - P. 47-56. DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2016-83-04 (in Russian).
L. R. Volevich, S. G. Gindikin. Distributions and convolution equations. 1994. Nauka, M., 336~p. (in Russian). In English: 1992. Gordon and Breach, Philadelphia, xi+465~p., ISBN 2-88124-753-9
L. V. Fardigola. An integral boundary-value problem in a layer for a system of partial differential equations, Mat. sbornik, - 1995. - Vol. 186. - No. 11. - P. 123-144. (in Russian). English translation: Sbornik: Mathematics, - 1995. - Vol. 186. - No. 11. - P. 1671–1692.
I. N. Gelfand, G. E. Shilov. Some questions of the theory of differential equations. 1958. Physmatgiz, M., 275~p. (in Russian).
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
