Дослiдження квазiлiнiйної моделi осiдання частинок суспензiї, якi агрегують, в неоднорiдному полi сил
Анотація
Математична модель процесу осiдання частинок суспензiї зазвичай являє собою квазiлiнiйну гiперболiчного систему диференцiальних рiвнянь, доповнену початковими i крайовими умовами. В данiй статтi дослiджується ускладнена модель, що враховує агрегування частинок i неоднорiднiсть поля зовнiшнiх масових сил. Розглянуто випадок однорiдних початкових умов, коли всi параметри руху, що виникає, залежать тiльки вiд однiєї просторової декартової координати x i вiд часу
t. На вiдмiну вiд вiдомих постановок задач для квазiлiнiйних систем рiвнянь (наприклад, в газовiй динамiцi), розв’язки яких мiстять сильнi розриви, у дослiджуванiй постановцi основна система рiвнянь виконується тiльки по один бiк вiд лiнiї розриву в площинi змiнних (t; x). По iнший бiк вiд лiнiї розриву рiвняння, взагалi кажучи, мають принципово iнший вигляд. Ми обмежуємося вивченням випадку, коли в компактнiй зонi, зайнятiй осiлими частинками, нiякого руху немає, тобто усi швидкостi
дорiвнюють нулю i об’ємнi частки всiх фаз не змiнюються з часом. Розглянуто задачу про седиментацiю еритроцитiв в полi вiдцентрових сил в центрифузi, при її рiвномiрному обертаннi з кутовою швидкiстю ω = const. Проведено дослiдження умов iснування рiзних типiв розв’язкiв. Однiєю з основних є проблема еволюцiйностi (стiйкостi) виникаючих сильних розривiв. Розв’язання цiєї проблеми пов’язано з аналiзом спiввiдношень для характеристичних швидкостей i швидкостi перемiщення поверхнi розриву. Вiдповiдь залежить вiд числа характеристик, що приходять до розриву, i вiд кiлькостi додаткових умов, що задаються на поверхнi роздiлу. Розрив на нижнiй межi областi, зайнятої чистою плазмою, завжди стiйкий. Але для поверхнi розриву, що роздiляє зони осiлих i рухомих частинок, умова еволюцiйностi може порушуватися. В цьому випадку необхiдне коригування вихiдної математичної моделi.
Завантаження
Посилання
B. L. Rozhdestvensky. Discontinuous solutions of quasilinear equations systems of hyperbolic type, Uspekhi of Mathematical Sciences, – 1960. – V. 15, 6(96). – P. 59–117.
S.-J. Lee, K.-S. Chang, K. Kim. Pressure wave speeds from the characteristics of two fluids, two-phase hyperbolic equation system, International Journal of Multiphase Flow, – 1998. – Vol. 24. – P. 855-866. doi:10.1016/S0301-9322(97)00089-X
A. Farina, L. Fusi, A. Mikeli´ c, G. Saccomandi, et al. Non-Newtonian Fluid Mechanics and Complex Flows. 2018. Springer, Cham, 330 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-74796-5
A. Yu. Kuznetsov, S. A. Poslavskyi. Investigation of a mathematical model of the mechanical suffusion, Visnyk of V.N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics, – 2009. – № 875. – Р. 57–68 (in Russian). http://vestnik-math.univer.kharkov.ua/Vestnik-KhNU-875-2009-kuznietsov.pdf
V. P. Singh. Kinematic wave modeling in water resources: Surface-water hydrology. 1996. Wiley, New York, 1424 p.
E. S. Losev. Modelling of the aggregating particles sedimentation, Izvestiya of AN SSSR, Ser. MZhG, – 1983. – № 3. – P. 71–78.
D. K. Basson, S. Berres, R. Bürger. On models of polydisperse sedimentation with particle-size-specific hindered-settling factors, Applied Mathematical Modelling, – 2009. – Vol. 33. – P. 1815–1835. https://doi.org/10.1016/j.apm.2008.03.021
V. Baranets, N. Kizilova. Mathematical modeling of particle aggregation and sedimentation in the inclined tubes, Visnyk of V.N.Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics, – 2019. – Vol. 90. – P. 42-59. https://doi.org/10.26565/2221-5646-2019-90-03
G. K. Batchelor. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres, Part 1. General theory, Journal of Fluid Mechanics, – 1982. – Vol. 119. – P. 379–408. https://doi.org/10.1017/S0022112082001402
G. K. Batchelor, C.S. Wen. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres, Part 2. Numerical results, Journal of Fluid Mechanics, – 1982. – Vol. 124. – P. 495-528. https://doi.org/10.1017/S0022112082002602
F. P. da Costa, R. Sasportes, Dynamics of a Non-Autonomous ODE System Occurring in Coagulation Theory, Journal of Dynamics and Differential Equations, – 2008. – Vol. 20, N1. – P. 55–85. https://doi.org/10.1007/s10884-006-9067-5
E. M. Hotze, T. Phenrat, G. V. Lowry. Nanoparticle Aggregation: Challenges to Understanding Transport and Reactivity in the Environment, Journal of Environmental Quality, – 2010. – Vol. 39. – P. 1909–1924. https://doi.org/10.2134/jeq2009.0462
R. Bürger. Phenomenological foundation and mathematical theory of sedimentation–consolidation processes, Chemical Engineering Journal, – 2000. – Vol. 80. – P. 177–188. https://doi.org/10.1016/S1383-5866(00)00089-7
V. A. Levtov, S. A. Regirer, N. Kh. Shadrina. Rheology of blood. 1982. Medicine, M., 270 p.
R. Dorrell, A. J. Hogg. Sedimentation of bidisperse suspensions, International Journal of Multiphase Flow, – 2010. – Vol. 36. – P. 481-490. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphaseflow.2010.02.001
J. Zhang, W. Ma. Data-driven discovery of governing equations for fluid dynamics based on molecular simulation, J. Fluid Mech., – 2020. – Vol. 892, A5. – P. 1–15. https://doi.org/10.1017/jfm.2020.184
J. F. Richardson, W. N. Zaki. The sedimentation of a suspension of uniform spheres under conditions of viscous flow, Chemical Engineering, – 1954. – Vol. 3. – P. 65-78. https://doi.org/10.1016/0009-2509(54)85015-9
G. J. Kynch. A theory of sedimentation, Transactions of Faraday Society, – 1952. – Vol. 48. – P. 166-176. https://doi.org/10.1039/TF9524800166
V. A. Baranets, N. N. Kizilova. The discrete simulation and sedimentation of micro- and nanoparticles in suspensions, Ser. Mathematical Modelling. Information Technology. Automated Control Systems, – 2018. – V. 40. – P. 4–14. https://doi.org/10.26565/2304-6201-2018-40-01
V. Baranets, N. Kizilova. On hyperbolicity and solution properties of the continual models of micro/nanoparticle aggregation and sedimentation in concentrated suspensions, Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Ser. Physics & Mathematics, – 2019. – N 4, – P. 60–64. https://doi.org/10.17721/1812-5409.2019/4.7
R. Ruiz-Baiera, H. Torres. Numerical solution of a multidimensional sedimentation problem using finite volume-element methods, Applied Numerical Mathematics, – 2015, V. 95, – P. 280–291. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2013.12.006
T. Peacock, F. Blanchette, J. W. M. Bush. The stratified Boycott effect, Journal of Fluid Mechanics, – 2005. – V. 529. – P. 33–49. https://doi.org/10.1017/S002211200500337X
L. Derbel. The set of concentration for some hyperbolic models of chemotaxis, Journal of Hyperbolic Differential Equations, – 2007. – V. 4, N2. – P. 331–349. https://doi.org/10.1142/S021989160700115X
H. Yan, W.-A. Yong. Stability of steady solutions to reaction-hyperbolic systems for axonal transport, Journal of Hyperbolic Differential Equations, – 2012. – Vol. 9, N2. – P. 325–37. https://doi.org/10.1142/S0219891612500105
I. M. Gelfand. Some problems of the quasilinear equations theory, UMN, – 1959. — V. 14, 2 (86).
G. G. Cherniy. Gas dynamics. 1988. Nauka, M., 424 p.
Авторське право (c) 2020 Кізілова Наталія Миколаївна, Пославський Сергій Олександрович, Баранець Віталія Олександрівна
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
