Метод функції керованості Коробова, застосований до стабілізації системи Росслера за обмежений час за допомогою обмежених керувань
Анотація
Система Росслера стала однією з референтних хаотичних систем. Її новизна при введенні, була в тому, що вона демонструє хаотичний атрактор, породжений більш простим набором нелінійних диференціальних рівнянь, ніж система Лоренца. Ця система за певних значень її триплета параметрів демонструє хаотичну поведінку. Питання керування системою Росслера шляхом стабілізації однієї з її нестійких точок рівноваги раніше розглядалося в літературі. У цій роботі запропоновано керування системою Росслера на основі задачі синтезу. Для заданої системи та однієї з її точок рівноваги, задача синтезу полягає у побудові обмеженого позиційного керування таким чином, що для будь-якого x⁰, що належить певному околу точки рівноваги, траєкторія x (t), що починається в x⁰, дістається до цієї точки рівноваги за скінченний час. А саме, з використанням методу В. І. Коробова, який також називають методом функції керованості, пропонується сім'я обмежених позиційних керувань, які розв'язують задачу синтезу для системи Росслера. В основному ми використовуємо два компоненти. Перший стосується загальної теорії функції керованості. Другий компонент - це сім'я обмежених позиційних керувань, яка будується в цій роботі. На відміну від попередніх робіт щодо стабілізації за скінчений час, ми пропонуємо явну сім'ю обмежених керувань, побудовану з урахуванням лише нелінійності системи Росслера, яка є квадратичною функцією.
За допомогою методу функції керованості, яка є функцією типу Ляпунова, оцінюється скінченний час, потрібний для досягнення бажаної точки рівноваги. Цю оцінку отримано для довільно заданої межі керування,а також наведено відповідну множину початкових умов для досягнення мети керування. Цей підхід може бути також розвинутий для будь-якої керованої системи, лінійна частина якої є повністю керованою, а її відповідна нелінійна частина - ліпшицевою функцією в околі точки рівноваги. У свою чергу, ця техніка може бути реалізована як інструмент керування хаосом.
Завантаження
Посилання
K. T. Alligood, T. Sauer, J. A. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical systems, Springer, - 1996. http://doi.org/10.1007/b97589
J.-F. Chang, M.-L. Hung, Y.-S. Yang, T.-L. Liao, J.-J.Yan. Controlling chaos of the family of Rössler systems using sliding mode control, Chaos, Solitons and Fractals, - 2008. - V. 37. Issue 2. - P. 609-622. http://doi.org/10.1016/j.chaos.2006.09.051
A. E. Choque-Rivero. The controllability function method for the synthesis problem of a nonlinear control system, International Review of Automatic Control, - 2008. - V. 1. no.4. - P. 441-445.
A. E. Choque-Rivero. Solution of a Synthesis Problem of a Nonlinear Control System, Visnyk of V. N. Karazin Kharkiv National University. Ser. Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics. - 2009. - 59(850). - P. 45-51. http://vestnik-math.univer.kharkov.ua/Vestnik-Khnu-850-2009-choq.pdf
A. E. Choque-Rivero, B. J. Gómez Orozco. Bounded finite-time stabilizing controls via orthogonal polynomials, 2018 IEEE International Autumn Meeting on Power, Electronics and Computing (ROPEC), Ixtapa, Mexico, - 2018. - P. 1-4. http://doi.org/10.1109/ROPEC.2018.8661456
A. E. Choque-Rivero, P. L. Cástulo Cruz. On Korobov's admissible maximum principle, 2016 IEEE International Autumn Meeting on Power, Electronics and Computing (ROPEC), Ixtapa, Mexico, - 2016. - P. 1-6. http://doi.org/10.1109/ROPEC.2016.7830634
A. E. Choque Rivero, V. I. Korobov, V. O. Skoryk. Controllability function as time of motion. I, Mat. Fiz. Anal. Geom., - 2004. - V. 11. no. 2. - P. 208-225 (in Russian); English translation in https://arxiv.org/abs/1509.05127
A. E. Choque Rivero, V. I. Korobov, V. O. Skoryk. Controllability function as time of motion. II, Mat. Fiz. Anal. Geom., - 2004. - V. 11. no. 3. - P. 341-354. (in Russian).
A. E. Choque-Rivero, F. Ornelas-Tellez. Bounded finite--time stabilization of the prey-predator model via Korobov’s controllability function, accepted to appear in Izv. Sarat. Univ. (N.S.) Ser. Mat. Mekh. Inform. - 2020.
V. Dobrushkin. Mathematica Tutorial for the Second Course in Differential Equations. Part III: Rossler attractor. 2015. http://www.cfm.brown.edu/people/dobrush/am34/Mathematica/ch3/rossler.html
B. C. Kuo. Sistemas de control automático (7ma. Edición). 1996. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A., Mexiko, 930 p. (in Spanish) https://dademuchconnection.files.wordpress.com/2017/07/sistemas-de-control-automatico-benjamin-c-kuo.pdf
X. Liao, P. Yu. Chaos control for the family of Rössler systems using feedback controllers, Chaos Solitons & Fractals, - 2006. - 29(1). - P. 91-107. http://doi.org/10.1016/j.chaos.2004.12.046
D. G. Luenberger. Observers for multivariable systems, IEEE Trans. Automat. Contr., V. AC-11. no. 2. - 1966. - P. 190-197. http://doi.org/10.1109/TAC.1966.1098323
V. I. Korobov. A general approach to the solution of the problem of synthesizing bounded controls in a control problem, Mat. Sb. - 1979. - V. 109(151). no. 4(8). - P. 582-606 (in Russian); Engls translation: Math. USSR Sb. 37 (1980), No. 4, 535–557. http://doi.org/10.1070/SM1980v037n04ABEH002094
V. I. Korobov. Controllability function method. 2007. NITS, Inst. Comp. Research, M-Ighevsk
V. I. Korobov, G. M. Sklyar. Methods for constructing of positional controls and an admissible maximum principle, Differ. Uravn., - 1990. - 26(11). - P. 1914-1924.
V. I. Korobov, V. O. Skoryk. Construction of restricted controls for a non-equilibrium point in global sense, Vietnam Journal of Mathematics. - 2015. - 43(2). - P. 459-469. https://doi.org/10.1007/s10013-015-0132-4
H. F. Marj, R. Asgharian, N. Pariz. Controlling chaotic Rossler system via synchronization, using bifurcation parameter to choose desirable periodic orbit, Journal of Applied Sciences. - 2009. - 9(8). - P. 1450-1457. https://doi.org/10.3923/jas.2009.1450.1457
A. Ovseevich. A local feedback control bringing a linear system to equilibrium, J. Optim. Theory Appl. - 2015. - V. 165. no. 2. - P. 532-544. https://doi.org/10.1007/s10957-014-0636-1
A. Polyakov, D. Efimov and W. Perruquetti. Finite-time stabilization using implicit Lyapunov function technique, Proceedings of the 9th IFAC Symposium "Nonlinear Control Systems"(NOLCOS), Toulouse, France - 2013. - 46(23) P. 140-145. . https://doi.org/10.3182/20130904-3-FR-2041.00043
A. S. Poznyak, A. Y. Polyakov, V. V. Strygin. Analysis of finite-time convergence by the method of Lyapunov functions in systems with second-order sliding modes, J. Appl. Math. Mech, - 2011. - V. 75. Issue 3. - P. 289-303. https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2011.07.006
M. Radford. A study of the Rössler system. 2007. School of Physics Jawja Institute of Technology, 12 p. http://www.chaosbook.org/projects/Radford/radford.pdf
M. Rafikov, J. M. Balthazar. On an optimal control design for Rössler system, Physics Letters A, - 2004. - Issue 3-4. V. 333. - P. 241-245. https://www.doi.org/10.1016/j.physleta.2004.10.032
M. Rafikov, J. M. Balthazar. On control and synchronization in chaotic and hyperchaotic systems via linear feedback control, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, - 2008. - Issue 7. V. 13. - P. 1246-1255. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2006.12.011
O. E. Rössler. An equation for continuous chaos, Physics Letters A, - 1976. - Issue 5. V. 57. - P. 397-398. https://doi.org/10.1016/0375-9601(76)90101-8
H. Wang, Z. Han, Q. Xie, W. Zhang. Finite-time chaos synchronization of unified chaotic system with uncertain parameters, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, - 2009. - Issue 5. V. 14. - P. 2239-2247. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2008.04.015
T. H. Yeap, N. U. Ahmed. Feedback control of chaotic systems, Dynamics and Control. - 1994. - V. 4. Issue 1. - P. 97-114. https://doi.org/10.1007/BF02115741
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
